لغز الرجل وأعمار أبنائه الثلاثة

زار رجل صديقاً له في بيته ، وعندما سأله عن أبنائه: عددهم وأعمارهم قال صاحب البيت ممازحاً ضيفه : إن عدد أبنائي ثلاثة ومجموع أعمارهم 13، فهل تعرف كم عمر كل منهم؟ إستشعر الضيف حرجا و طلب من الوالد معلومات إضافية حتى يتمكن من حل اللغز ودار الحديث التالي بينهما :

نص المسألة :

 
زار رجل صديقاً له في بيته ، وعندما سأله عن أبنائه: عددهم وأعمارهم قال صاحب البيت ممازحاً ضيفه :
إن عدد أبنائي ثلاثة ومجموع أعمارهم 13، فهل تعرف كم عمر كل منهم؟
فقال الضيف:
هذه المعلومات لا تكفي
فقال صاحب البيت:
إن حاصل ضرب أعمارهم الثلاثة يعادل عمري؟
فقال الضيف
وكم عمرك؟
فأجاب صاحب البيت
عمري كذا سنة ( وأخبره بعمره )
فكر الضيف قليلاً ثم قال
لا تزال هذه المعلومات غير كافية
فقال الرجل
عين الصغير زرقاء
فقال الضيف
هذا يكفي ، الآن عرفت أعمارهم.
السؤال : كم أعمار الأولاد الثلاثة ؟ وكم عمر والدهم (صاحب البيت)؟ وكيف عرف الضيف ذلك؟

حل المسألة :

في حل هذا النوع من المسائل نفترض أعماراً صحيحة مع السماح بتوأم على الأكثر لتسهيل منطقية الحل. إذا كان عدد الأبناء 3 ومجموع أعمارهم 13 فستكون لدينا الاحتمالية التالية (وهو ما افترضه الضيف في تحليله أولاً).

1+1+11=13	1+2+10=13	1+3+9=13	1+4+8=13	1+5+7=13	1+6+6=13	2+2+9=13
2+3+8=13	2+4+7=13	2+5+6=13	3+3+7=13	3+4+6=13	3+5+5=13	4+4+5=13

أي أن لدينا 14 احتمالاً ممكناً وبالتالي فإن المعطيات لم تكن كافية. وعندما قال له والد الأبناء بأن حاصل ضرب أعمارهم يعادل عمره وأخبره بعمره فإن علينا أنت نتصور عمر الرجل بشكل منطقي أيضاً وهو أكبر من أكبر الأبناء وكذلك عدد صحيح. من المنطقي أيضاً أن ينجب الرجل بعد سن البلوغ أي أن عمره على الأقل يفوق عمر أكبرهم مضافاً إليه 15 سنة.

إن أكبر احتمال ممكن لعمر الأكبر من القائمة السابقة هو 11 سنة بينما أصغر احتمال ممكن لعمر الأكبر هو 5 سنوات. هذا يعني أن عمر الرجل على الأقل هو 20 سنة. بإعادة فرض الاحتمالات الممكنة نجد أن الأعمار السابقة ممكنة تقريباً عدا الأول. عموماً الرجل كان قد حصل على عمر الرجل هذا يعني أن نبحث عن عمليات ضربية مما سبق كما يلي:

1×1×11=11	1×2×10=20	1×3×9=27	1×4×8=32	1×5×7=35	1×6×6=36	2×2×9=36
2×3×8=48	2×4×7=56	2×5×6=60	3×3×7=63	3×4×6=72	3×5×5=75	4×4×5=80

ومع أن عمر الوالد كان ضمن القائمة بيد أن الضيف طلب الرجل معلومات أخرى وهذا يعني أنه واجه مشكلة تكرار احتمالين أو أكثر. لو ركزنا في المضاريب السابقة فسنجد أن الاحتمالات المتكررة كانت:

1× 6 × 6 = 36 أو 2 × 2 × 9 = 36

وهذا يعني أن عمر والد الأبناء كان 36 عاماً. لذلك طلب الضيف من والد الأبناء معلومة إضافية فأخبره بأن عين الصغير زرقاء وهنا استشف الضيف بأن أصغر الأبناء ليس له توأم فاستثنى الاحتمال الأخير وأخذ الاحتمال 1،6،6. أي أن أعمار الأبناء كانت:

الأصغر سنة، الإثنان الآخران توأم كل منهما 6 سنوات وعمر الأب 36 سنة