المتطابقة الهامة الثالثة هي متساوية جبرية يتضمن أحد طرفيها جداء صيغتين مترافقتين (a - b )( a + b ) و الطرف الأخر يتضمن فرق مربعين a² - b² و تستعمل لتيسير العمليات الحسابية والنشر والتعميل.
في هذا الدرس تدريب على طريقة النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة رقم 3 مسبوق بتذكير و أمثلة و مرفوق  بتمارين محوسبة و أخرى محلولة أو للإنجاز الفردي :
النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة

معلومات أساسية :

1 - التعرف على المتطابقة :  a - b )( a + b ) = a² - b² )

يمكن أن نبرهن على صحة هذه المتساوية كالتالي :
جبريا  :
سنقوم بنشر الطرف الأيسر من المتساوية (a - b)(a + b) و نتصرف هكذا :
(a - b)(a + b) = a×a + a×b - b×a - b×b
               = a²  + ab - ba - b²
               = a²  + ab - ab - b²
               = a² - b²
 (a - b)(a + b) = a² - b² 
هندسيا :
يمكن أن ننشئ مستطيل طوله a + b و عرضه a - b حيث a و b عددان جذريان و a>b و نحسب مساحة هذا المستطيل بطريقتين مختلفتين :
S =  (a - b)(a + b) + ab + b²                
أو :
S =  a² + b² +  b(a - b)
  =  a² + b² + ab - b²
  =  a² + ab
ومنه :
(a - b)(a + b ) + ab + b² =  a² + ab
(a - b)(a + b )  + b² =  a² 
(a - b)(a + b )  =  a² - b²
 (a - b)(a + b) = a² - b²  
البرمجية التالية تشرح نفس الطريقة بكيفية أخرى : يمكنك إيقاف العرض و تتبع المراحل بإستعمال النقطة P قم بمسك وسحب P نحو الأسفل :
بصفة عامة : مهما يكن a و b عددان جذريان فإن
أمثلة :
(x - 6)(x + 6) = x² - 6² = x² - 36
(2x + 7)(2x - 7) = (2x)² - 7² = 4x² - 49
y² - 81 = y² - 9² = (y - 9)(y + 9)
9 - 16y² = 3² - (4y)² = (3 - 4y)(3 + 4y)

2 - تدريب على المتطابقة :  a - b )( a + b ) = a² - b² )

أتمم ملأ الجدول التالي :

النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b)=a²-b²)

1- النشر بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)

عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من (a - b)(a + b) ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى a² - b² ) نقول أننا نشرنا المتطابقة :
         تمرين : أنشر و بسط مايلي
          (A= (x - 11)(x + 11)                 C = (5x - 1)(5x + 1)             B = (3 - z)(3 + z
الحل :
(C = (3 - z)(z + 3
(B = (5x - 1)(5x + 1
(A= (x - 11)(x + 11
C = 3² - z²
C = 9 - z²
B = (5y)² - 1²
B =  25x² - 1
A = x² - 11²
A = x² - 121
تمارين إضافية :

2- التعميل  بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)

عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من a² - b² ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى (a - b)(a + b) ) نقول أننا عملنا المتطابقة :
         تمرين : عمل مايلي
                    9 - ²(1 -  A= x² - 25                 B = 9y² - 64             C = (2x
الحل :
C = (2x -1)² - 9
B = 9y² - 64
A= x² - 25
C = (2x -1)² - 3²
(C = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3
(2 + C = (2x - 4)(2x
B = (3y)² - 8²
(B =  (3y - 8)(3y + 8
A = x² - 5²
(A =  (x - 5)(x + 5
تمارين إضافية :
إقرأ المزيد

في هذا الدرس سنتعرف على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية:
خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل جانبه لدينا :
ABC مثلث قائم الزاوية في A
I منتصف الوتر [BC]
                                                                               
قم بتحريك النقط A و B و I
ماذا تلاحـــــظ ؟
تظنن خاصية متعلقة بذلك

  
ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و I تبقى المسافات IA و IB و IC متساوية.
مظنـــونة : منتصف و تر مثلث قائم الزلوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوســـه.

2- البرهان على الخاصية :

          تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف الوتر [BC] و ليكن (d) و اسط القطعة [AC].
1. برهن أن (AB) // (d).
2. برهن أن النقطة I تنتمي إلى (d).
3. إستنتج أن IA = IB = IC.
الجــــــواب :
الشـــــكل + المعطيات
1- نبرهن أن  (AB) // (d) :

لدينا المثلث ABC قائم الزاوية في A إذن    : (AB) عمودي على  (AC)        (أ)
لدينا المستقيم (d) و اسط القطعة [AC] إذن : (d)    عمودي على   (AC)     (ب)
من (أ) و (ب) نستنتج أن (AB) // (d). (مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان)

2. نبرهن أن النقطة I تنتمي إلى (d) :

لدينا (d) يوازي (AB) و يمرمن منتصف القطعة  [BC] ( واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).
إذن (d) يقطع [BC] في منتصفها I (المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي للضلع الثاني يقطع الثالث في منتصفه).
ومنه  I تنتمي إلى (d).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني "

3- نستنتج أن IA = IB = IC :

I تنتمي إلى (d) تعني أن :   IA = IC      C            (ج)  ( كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيها )
I منتصف [BC] تعني أن :   IA = IB      B           (د)
من (ج) و (د) نستنتج أن  IA = IB = IC

3- خاصية هامة :

   إذا كان مثلث قائم الزاوية فإن منتصف وتره يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه.
بتعبير أخر :
   إذا كان ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف[BC]
 فإن : IA = IB = IC .

تمرين تطبيقي :

         تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A  و M منتصف [BC] .
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث AMB ؟ علل جوابك .
3 – استنتج قياس الزاوية MAB .
الحــــل :
1–
الشــــــكل
2 – طبيعة المثلث  AMB  :
          نعلم أن  :  ABC مثلث قائم الزاوية في A .
   و
          M منتصف الوتر [BC] .
  إذن  :  MA = MB = MC .   أي :  MA = MB .
   و منه فإن المثلث  AMB متساوي الساقين رأسه M .

3 – لنستنتج قياس الزاوية   MAB  :
         نعلم أن :    AMB مثلث متساوي الساقين في E .
             إذن  :    زاويتا القاعدة متقايستين MAB = MBA
       و بما أن :   MBA = 50°    فإن  :     MAB = 50°
تمارين إضافية للإنجاز الفردي :
إقرأ المزيد

معادلة بأقواس
تعرفنا على المعادلة البسيطة ذات الخطوتين و تعرفنا على مراحل إنجازها و طريقة حلها، في الدرس الثالث سنتابع مع المعادلات المتعددة الخطوات وهذه المرة مع المعادلة التي تتضمن أقواسا.
طريقة حل هذه الأخيرة لا تختلف عن طريقة حل المعادلة البسيطة، حيث أنك كلما كنت ملما بقواعد إزالة الأقواس المسبوقة بعلامة + أو - و قاعدة النشر إلا وجدت نفسك تجيد حل مثل هكذا معادلات بأقواس، المبدأ في الحل هو إزالة الأقواس في المعادلة أولا كي نحصل على معادلة البسيطة.

أنشطة التمهيد المعادلة البسيطة معادلة بأقواس

قاعدة + أمثلة :

قاعدة النشر :
               إذا كانت a و b و k أعداد حقيقية فإن :
k(a + b) = ka + kb   و  k(a - b) = ka - kb

حالة خاصة :

**/ إذا كان k = 1  فإن : a  +  b) = a + b) +
**/ إذا كان k = -1 فإن : a  +  b) = -a - b) -

تطبيق :  حل المعادلة
2(x + 5) = 3 - (x + 7)
1. ننشر بإستعمال القاعدة السابقة حتى نقصي جميع الأقواس:

2. بعد عملية النشر و إزالة الأقواس نحصل على معادلة بسيطة من النوع ax + b = cx + d : (أنظر طريقة إنجاز هنا)
أنظر طريقة إنجاز هنا 
3. نجمع المعاليم في طرف و المجاهيل في طرف مع تغيير إشارة كل حد إنتقل من طرف إلى أخر :

4. أخيرا :     x = -14
حـــل هذه المعادلة هو : 14-

أمثلــــة محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك التدرب على هذا النوع من المعادلات، سنرافقك في الحل خطوة بخطوة فقط ضع علامة صح على في الخانة و تتبع مراحل الإنجاز. في كل مرة إنتهيت يمكنك الضغط على معادلة جديدة :
أمثلة و شروحات بالفيديو :

تمارين و حلول :

إقرأ المزيد

المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
كل متساوية من النوع ax + b = 0  تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، و تعرف أيضا بمعادلة الخطوتين حيث نعتمد في حلها على خطوتين فقط. في هذه الحصة سنتعرف على هذه المعادلة و نتناول طريقة حلها.

سيكون من المفيد إتقان مراحل إنجازالمعادلة ax + b = 0 لأن أغلب المعادلات المقررة في منهاج السنة الثانية ثانوي إعدادي تؤول في حلها الى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد من شاكلة ax + b = 0.
أنشطة تمهيدية حول المعادلات

معارف أساسية :

   قاعدة 1 :   

          في معادلة يمكن أن نضيف أو نطرح من طرفيها نفس العدد دون أن تتغير هذه المعادلة
   قاعدة 2 :   
          في معادلة يمكن أن نضرب أو نقسم طرفيها على نفس العدد الغير المنعدم دون أن تتغير هذه المعادلة
قاعدة 2 المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
 بصفة عامة : 

نعتبر المعادلة ax + b = 0 و لنفرض ان a يخالف 0.
بالأعتماد على القاعدة 1 و القاعدة 2 يمكن نحل هذه المعادلة بخطوتين كالتالي :

خطوة 1  نطرح b من طرفي المعادلة   :    ax + b - b = 0 - b   نحصل على  ax  =  - b
خطوة 2  نقسم  طرفي المعادلة على a ة :    ax ÷ a = -b÷a   نحصل على  x  = -b/a

   تعريف  :    
              a و b و x أعداد حقيقية .
كل متساوية على شكــل : ax + b = 0 تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد هو x.
** / إذا كان : a يخالف 0 و b يخالف 0 فإن : للمعادلة ax + b = 0 حــلا وحيدا هو b/a-.
** / إذا كان : a يخالف 0 و b يساوي 0 فإن : للمعادلة ax + b = 0 حــلا وحيدا هو العدد 0 .
** / إذا كان : a يساوي 0 و b يساوي 0 فإن : للمعادلة ax + b = 0 عدة حلول .
** / إذا كان : a يساوي 0 و b يخالف 0 فإن : المعادلة ax + b = 0 ليس لها حـــلا .
  أمثلــة  :   
  • 2x - 4 = 0 =>  x = 4/2 => x = 2
  • 3x + 8 = 0 =>  x = -8/3
  • 7x  = 0 =>  x = -0/7 => x = 0
  • 0x + 18 = 0 =>   ليس لها حـــلا . 
المزيد من الأمثلة :

    شروحات بالفيديو :   

المعادلة : ax + b = cx + d 

في الحقيقة هذه المعادلة لا تختلف كثيرا عن المعادلة السابقة و يمكن إعتبارها هي الأخرى بسيطة. هنا تظهر لنا الحدود التي تتضمن المجهول في طرفي المعادلة و الحدود المعلومة هي الأخرى متفرقة على طرفي المعادلة.
سنستعمل نفس القواعد السابقة لحل مثل هكذا معادلات :

مثــــــال : حل المعادلة 5x + 2 = 3x - 10

مثال المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

يمكن أن نختصر بعض الحسابات و نتبع الخطوات التالية و هي تفيد نفس معنى ما قمنا به أعلاه :
1- نجمع الحدود التي تتضمن المجهول في الطرف الأيسر من المعادلة مع تغيير إشارة كل حد إنتقل من طرف إلى الطرف الأخر.
2- نجمــــع الحدود المعلومة في الطرف الأيمن من المعادلة مع تغيير إشارة كل حد إنتقل من طرف إلى الطرف الأخر.
3- نجري الحساب و نجد قيمة  x.
5x  +    2 =  3x  - 10
الأعداد المعلومة في طرف و الأعداد المجهولة في الطرف الأخر :
2 - 5x - 3x =  - 10
نحسب ونبسط طرفي المعادلة :
2x = -12
نقسم طرفي المعادلة على 2 :
x = -12/2
نختزل و نجد حل المعادلة :
x = -6

أمثلة محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك أن تتدرب على حل هذا النوع من المعادلات بإستعمال الطريقة السابقة. قم بكتابة المعادلة التي تريد و سنرافقك في مراحل إنجازها. قم بمسك و تحريك النقطة البنفسجية على الخط الرأسي :

أمثلة بالفيديو :

واجبات الدرس الثاني :

1 - الإختبار القصير


2- تمارين منزلية :


إقرأ المزيد


في هذا الدرس الأول من سلسلة دروس المعادلات، سنتناول مجموعة من الأنشطة التمهيدية التي من خلالها سنختبر مكتسباتك القبلية بخصوص المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. 

سنميز بين المعادلة و المتساوية و التعبير الجبري، نتعرف على المجهول في المعادلة و نستكشف بعض من طرق و تقنيات الحل بإعتماد القواعد و الخاصيات التي تنظم الحساب في المعادلات. هذه الحصة تتضمن خمس مهمات ، المطلوب منك التفاعل مع الأسئلة و إسترجاع ما تعلمته من إستراتيجيات في حل المعادلات :

نشاط رقم 1 : معادلة أم لا ... حل أم لا !

   مهمة رقم 1 :   
    المطلوب منك في هذه المهمة أن تتعرف على المعادلة و تميزها عن غيرها في مرحلة اولى، و أن تتأكد من حل معادلة في مرحلة ثانية :

       تلميحات :   

      نشاط رقم 2 : برنامج حساب

         مهمة رقم 2 :   

                  برنامج حساب
        هشام و أحمد كل منهما يرقن في البداية نفس العدد على ألته الحاسبة و كل منهما بعيدا عن الأخر يقوم بما يلي :
            * هشام يضرب هذا العدد في 8 ثم يضيف 7 للناتج المحصل عليه.
            * أحمد يضرب هذا العدد في 6 ثم يضيف 13 للناتج المحصل عليه.
        الغريب في الأمر... أن الألتين الحاسبتين تظهران نفس الناتج !!
           أ ) - في نظرك هل يمكن أن يكون 3 هو العدد الذي إختاره أحمد و هشام في البداية ؟ علل حساباتك
           ب) - هل يمكن أن يصلح الأمر كذلك مع 2 ؟ علل الجواب
        سهام فعلت نفس الشئ مع عدد البداية على ألتها الحاسبة لكنها قامت بما يلي:
           * سهام تضرب هذا العدد في 3 ثم تضيف 30 للناتج المحصل عليه.
          ج) - هل يمكنها أن تجد نفس الناتج مثل هشام و أحمد ؟ علل الجواب

           حل مسألة برنامج حساب :   

        للتفكير :

        بفرض أنهم لم يعطونا العدد 3 في السؤال أ) كي نتأكد فعلا من أنه هو العدد الذي إختاره أحمد و هشام في البداية. كيف يمكنك أن تجد بنفسك هذا العدد ؟

           الحــــــل :   

        نشاط رقم 3 : معادلة ميزان

           مهمة رقم 3 :   
          في هذا النشاط سنختبر قدرتك على حل معادلة إعتمادا على مبدأ الميزان حيث أنه يمكنك أن تضيف (أو تنقص) من كفتيه نفس الكمية و يبقى في حالة توازن. المطلوب منك الإشتغال على مرحلتين لحل المعادلة المعطاة :

              *- قم بمسك و ترحيل المجهول × المعبر عنه بلون أزرق و الوحدات المعبر عنها بنقط حمراء إلى داخل المستطيلين حتى تحصل على المعادلة المطلوبـة في حالة توازن.

              *- قم بمسك و ترحيل ال × المعبر عنها بلون أزرق و الوحدات المعبر عنها بنقط حمراء إلى خارج المستطيلين حتى تحصل على قيمة  ×
           
              *- قم بإختيار معادلة جديدة ثم أعد الكرة : 

          نشاط رقم 4 : قاعدتان هامتان 

          قاعدة 1 :
                     في معادلة يمكن أن نضيف أو نطرح من طرفيها نفس العدد دون أن تتغير هذه المعادلة : a + c = b + c  <=> a = b
          قاعدة 2 :
                    في معادلة يمكن أن نضرب أو نقسم طرفيها على نفس العدد الغير المنعدم دون أن تتغير هذه المعادلة : a × c = b × c  <=> a = b

             مهمة رقم 4 :   

          نشاط رقم 5 : مسألة هندسية

             مهمة رقم 5 :   

            في الشكل جانبه ABCD مستطيل حيث أن :
                   AB = 5cm و AD = 2cm
            M نقطة متحركة على القطعة [DC]. 
                  نضع : DM = x
             في هذا النشاط نريد تحديد قيم x التي من أجلها يكون        المثلث AMB قائم الزاوية في M.
            و لكي نجيب على هذا النشاط سنستعمل طريقتين  مختلفتين لإيجاد قيم x التي تحقق المطلوب : الطريقة  الهندسية و الطريقة الجبرية :

          1 ) .  الطريقة الهندسية :
               أ ) - حرك النقطة  Mعلى القطعة [DC] و حدد قيم x التي من أجلها يكون المثلث AMB قائم الزاوية في  M.
               ب ) - وصف مراحل طريقة إنشاء النقطة M هندسيا بحيث يكون المثلث AMB قائم الزاوية في  M.

          2 ) .  الطريقة الجبرية :
               أ ) - بإعتماد أطوال أضلاع المثلث AMB . متى يكون AMB قائم الزاوية في M ?
               ب) - في المثلث ADM عبرعن AM² بدلالة x.
               ج) -في المثلث BCM عبرعن BM² بدلالة x.
               د ) - إستنتج أنه لكي يكون المثلث AMB  قائم الزاوية في M يجب أن تتحقق المعادلة التالية : x² - 5x + 4
               ه ) - أنشر و بسط : (P = (x -1)(x - 4
               و) - أسنتج حلول المعادلة الواردة في السؤال د).

              الحلول الكاملة :   

          إقرأ المزيد

          في هذا الدرس نذكر بتعريف واسط قطعة و نستعرض أهم خاصياته، نتعرف على واسطات مثلث و نتظنن قاعدة متعلقة بذلك. في الأخير نوظف هذه القاعدة في حل مسألة هندسية عن طريق البرهان :

          1) واسط قطعة - واسط مثلث :

          أ) تعريف واسط قطعة (تذكير) :
               واسط قطعة هو المستقيم المارمن منتصفها و العمودي على حاملها.
          نسمي (AH) إرتفاع المثلث ABC االموافق للضلع [BC] .
          ب) خاصيات واسط قطعة (تذكير) :
                    خاصيات :
          1. كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيها.
          2. كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة تنتمي إلى واسط هذه القطعة.
          3. واسط قطعة هو مجموعة النقط المتساوية المسافة عن طرفيها.
            ج) تعريف واسط مثلث :
                 واسط مثلث هو واسط أحد اضلاعـــه.

            2) واسطات مثلث

            أ- نشاط تمهيدي
            المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة تتعلق بواسطات مثلث :
            1.  بإستعمال الأداة أنشئ مثلث ABC
            2. بإستعمال الأداة أنشئ  واسطات المثلث ABC
            3. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
            4. تظنن قاعدة متعلقة  بواسطات  المثلث.
            5. بإستعمال الأداة أنشئ  الدائرة التي مركزها نقطة تلاقي الواسطات وتمر من A. ماذا تلاحـــــظ ؟
            6. تظنن قاعدة متعلقة  بهذه الدائرة

            Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture          

            ب) خاصية  :
            واسطات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث.
            ج) تمرين تطبيقي :
                          نص التمرين :
            A وB وC ثلاث نقط من دائرة مركزها O.
            (d) المستقيم المارمن O و العمودي على (BC) في النقطة 'A.
            1. انشئ الشكل.
            2. برهن أن 'A هي منتصف [BC].
            3. ماذا يمثل المستقيم (d) بالنسبة للمثلث OBC ؟
            الشــــكل + البرهان :
            المعطيات :
            • دائرة مركزها O تحيط بالمثلث ABC.
            • (d) يمر من O و عمودي على (BC) في النقطة 'A.
            المطلوب : نبرهن أن 'A هي منتصف [BC]

            نص البرهان :
            2-
            A وB وC ثلاث نقط من دائرة مركزها O يعني أن : الدائرة التي مركزها O هي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
            أي أن : O هو نقطة تلاقي واسطات المثلث ABC.
            بمأن (d) يمر من O و عمودي على (BC) نستنتج أن : (d) واسط للضلع [BC]
            أي أن : (d) يقطع [BC] في المنتصف
            وبالتالي : 'A منتصف [BC].
            3-
            المستقيم (d) يمر من رأس المثلث OBC و عمودي على [BC] في منتصفه إذن يمكن إعتباره :
            • إرتفاعا المثلث OBC : لأنه مار من أحد رؤوس المثلث و عمودي على حامل الضلع المقابل.
            • واسطا في المثلث OBC : لانه واسط أحد أضلاعه (واسط [BC])
            • متوسطا في المثلث OBC : لانه مار من أحد رؤوس المثلث و منتصف الضلع المقابل.
            • منصفا للمثلث OBC : ينصف الزاوية BÔC إلى زاويتين لهما نفس القياس.
            إقرأ المزيد

            في هذا الدرس نتعرف على الإرتفاع في المثلث و نتعرف على خاصية إرتفاعات مثلث :

            1) إرتفاع مثلث :

            أ) تعريف :
                 إرتفاع مثلث هو المستقيم المار من أحد رؤسه و العمودي على حامل الضلع المقابل
            نسمي (AH) إرتفاع المثلث ABC االموافق للضلع [BC] .
            ملاحظة هامة : يمكننا أن نرمز كذلك للارتفاع (AH)  بإحدى الرمزين  :  [AH]  أو AH.
            حالة خاصة : DEF مثلث بحيث  E زاوية منفرجة ، نلاحظ أن المسقط العمودي للنقطة D  لا ينتمي إلى القطعة [EF] .

            2) إرتفاعات مثلث

            أ- نشاط تمهيدي
            المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة تتعلق بإرتفاعات مثلث :
            1.  بإستعمال الأداة  أنشئ مثلث ABC
            2. بإستعمال الأداة أنشئ  إرتفاعات المثلث ABC
            3. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
            4. تظنن قاعدة متعلقة  بإرتفاعات  المثلث.

            Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture          

            خاصية و تعريف :
            إرتفاعات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز تعامد مثلث.
            تمرين تطبيقي :
                          نص التمرين :
            ABCD متوازي الأضلاع بحيث تكون الزاوية BÂD منفرجة.
            (d) المستقيم المارمن A و العمودي على (DC) في النقطة 'A.
            ('d) المستقيم المارمن C و العمودي على (DA) في النقطة 'C.
            المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في H.
            1. انشئ الشكل.
            2. برهن أن المستقيم (DH) عمودي على (AC).
            الشــــكل + البرهان :
            المعطيات :
            • (d) يمر من A وعمودي على (DC) في النقطة 'A.
            • ('d) يمر من C و عمودي على (DA) في النقطة 'C.
            • المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في H.
            المطلوب : نبين أن (DH) عمودي على (AC)

            نص البرهان :
            في المثلث ADC لدينا (d) مستقيم يمر من A و عمودي على (DC) إذن (d) هو الإرتفاع الموافق ل A.
            و لدينا ('d) مستقيم يمر من C و عمودي على (DA) إذن ('d) هو الإرتفاع الموافق ل C.
            بمأن (d) و ('d) يتقاطعان في H. نستنتج إذن أن H هو مركز تعامد المثلث ADC
            ومنه الإرتفاع الثالث للمثلث ADC و الموافق ل D يمرمن H.
            أي أن (DH) عمودي على (AC)
            إقرأ المزيد

            تعرفنا في موضوعين سابقين على خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث  و على خاصية المستقيم المارمن منتصف أحد الأضلاع و الموازي لحامل الضلع الثاني نتابع مع خاصية ثالثة هامة و مفيدة جدا خصوصا في حل المسائل الهندسية حسابيا : سنكتشف و نتظنن خاصية المستقيم الموازي لضلع في مثلث ونورد أمثلة تطبيقية على ذلك :

            المستقيم الموازي لضلع في المثلث :

            أ - نشاط تمهيدي :

            نعتبر مثلث ABC. و ليكن (d) مستقيم يوازي حامل الضلع [BC] و يقطع الضلعين [AB] و [AC] على التوالي في M و N. المطلوب منك في هذا النشاط هو مقارنة النسب :
            1. قم بتغيير أطوال أضلاع المثلث ABC (سحب و إفلات رؤوسه)، قم بتغيير و ضع M و N على الضلعين [AB] و [AC]. سنتكفل بدلا عنك بإجراء العمليات الحسابية و نعطيك ناتج كل نسبة على شكل قيمة مقربة إلى 0.01. المطلوب منك فقط تدوين ملاحظاتك كل مرة بخصوص  هذه النسب الثلاث.
            2. ماهي ملاحظاتك ؟ تظنن خاصية.

            ب - بصفة عامة :

                            خاصية :
            نعتبر ABC مثلث 
            إذا كانت M نقطة من [AB]  و N نقطة من [AC] وكان (MN) // (BC) فإن :

            ج - تمرين تطبيقي :

                          نص التمرين :
            أراد ملاحظ أن يعرف عمق البئر فوقف على حافتها و أصبح يبتعد عنها وفق خط مستقيم يشمل مركز الدائرة التي قطرها متر واحد والتي تمثل فوهة البئر و عندما يختفي عنه قعرها مباشرة يجد أنه إبتعد عن حافة  البئر مسافة 80cm ( انظر الصورة اسفله). 
            بفرض أن المستقيم (BC) يوازي (FD) ما هو عمق هذه البئر إذا علمت أنّ طول الملاحظ هو 1.6m ؟
            الشكل + البرهان :
            يمكن تطويع هذه الوضعية إلى شكل هندسي بسيط يتضمن مثلث AED قائم الزاوية في E و مستقيم (BC) يوازي (ED).
            في المثلث ADE لدينا B نقطة من [AE]  و O نقطة من [AD] و لدينا  (OB) // (ED) ، إذن حسب الخاصية السالفة لدينا :
            عمق هذه البئر هو : 2m.

            مسألة الحكيم طاليس

            طاليس يشرح للكهنة النظرية
            طاليس (في اليونانية: Θαλης) من مليتوس 634 ق.م.-543 ق.م. يعرف أيضا بتالس المليسي، أحد فلاسفة الإغريق قبل سقراط وواحد من حكماء الإغريق السبعة، يعتبره العديد الفيلسوف الأول في الثقافة اليونانية وأبو العلوم. عاش طاليس في مدينة مليتوس في أيونيا، بغرب تركيا.

            عندما زار طاليس مصر أُعجبَ به الكهنة المصريون، وأُعجبوا بطريقته المبتكرة في حل المسائل الرياضية التي عرضوها عليه.

            ولكي يختبروا حكمة هذا الضيف اليوناني قرروا أن يطرحوا عليه مسألة رياضياتية حقيقية فأخذوه إلى أكبر الأهرام في الصحراء وطلبوا منه قياس ارتفاعه. كان الكهنة متأكدين من أن هذا العاِلم الغريب لن يتمكن من حل المشكلة. ولكن الرياضياتي اليوناني لم يرتبك. بعد تفكير قصير طلب منهم أن يحضروا له عصا. 

            أحضر الكهنة العصا للضيف اليوناني معتقدين أنه سوف يتسلق الهرم ويبدأ بقياس ارتفاعه بشكل عملي مستخدماً لذلك العصا التي طلبها. ولكن طاليس لم يخطر بباله مثل هذا العمل ابداً، فقد أخذ العصا وغرزها بالرمل ثم قال للكهنة: عندما يصبح طول ظل العصا مساوياً لطولها، قيسوا طول ظل الهرم وسوف تحصلون على طول ارتفاعه ! 

            دهش الحكماء المصريون من بساطة وذكاء هذه الطريقة التي اتبعها طاليس في حل مسألة صعبة ومعقدة مثل مسألة قياس ارتفاع الهرم مما اضطر الكهنة المصريين للإعتراف بأن اليونانيين رياضياتيون ممتازون. وفي واقع الأمر فإن رياضياتي اليوناني قد أغنوا رياضيات ذلك العصر بمعارفهم الكثيرة.   الرياضيات في حياتنا (زلاتكاشبورير).
            في البرمجية التالية يمكنك إتباع الخطوات التي إستعملها طاليس لحل هذه المسألة :
            إقرأ المزيد

            بعد أن تعرفنا على خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث نتابع هذه المرة مع خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني : سنخمن قاعدة و نبرهن على صحتها ، ثم نعمم النتيجة على جميع المستقيمات التي تمر من منتصف أحد الأضلاع في مثلث و توازي حامل الضلع الثالث :

            المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني :

            أ - نشاط تمهيدي :

            المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة للمستقيم  المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني :
            1.  بإستعمال الأداة  أنشئ مثلث ABC
            2. بإستعمال الأداة أنشئ  منتصف الضلع [AB].
            3. بإستعمال الأداة أنشئ المستقيم المار من منتصف [AB] و الموازي للمستقيم (BC).
            4. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
            5. خمن قاعدة متعلقة بالمثلث و المستقيم المار من منتصف أحد أضلاعه و الموازي لحامل الضلع الثاني :
            معاينة طريقة الإنشاء :

            Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture  



            ب - البرهان على القاعدة :

            المعطيات :
            • ABC مثلث.
            • I منتصف الضلع [AB].
            • (D) يمر من I و يوازي (BC) و يقطع [AC] في J. 
            المطلوب : نتبث أن J منتصف  [AC].
            البرهان :
            • نفرض أن H  هو المسقط العمودي للنقطة C على المستقيم  (AB) :
             إذن [CH] إرتفاع في المثلثين CBA و CBI.
            و منه :  2 ÷  (S(CAB) = (CH × AB  و2 ÷ (S(CBI) = (CH × IB      (المساحة : S)
            بمأن : AB = 2IB (لأن I منتصف [AB]) فإن : (S(CBI) = 1/2 × S(CAB      علاقة 1
            •  نفرض أن M  و N  هما المسقطين العموديين ل I و J على المستقيم (BC) على التوالي :
            لدينا المستقيم (IJ) يوازي حامل الضلع [BC] إذن سيكون للمثلثين CBI وCBJ قاعدة مشتركة هي الضلع [BC] و إرتفاعان [IM] و [JN]  لهما نفس الطول ( الرباعي IJNM سيكون عبارة عن مستطيل ).
                                                 و هذا يعني أن :        (S(CBI) = S(CBJ              علاقة 2

            من خلال العلاقتين 1 و 2 نستنتج أن : (S(CBJ) = 1/2 × S(CAB
            مساحة المثلث CAB هي ضعف مساحة المثلث CBJ  والنقط A و J و C مستقيميية إذن :
            AC = 2CJ و منه J منتصف  [AC].

            ج - بصفة عامة :

                            خاصية :
            المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني يقطع الضلع الثالث في منتصفه..
            بتعبير أخـــر :
            ABC مثلث 
            إذا كان : I منتصف [AB] و (d) // (BC)  فإن : (d) يقطع [AC] في منتصفها J. 

            د - تمرين تطبيقي :

                          نص التمرين :
            ABCD متوازي الأضلاع مركزه O  و M منتصف [AD].
            المستقيم (OM) يقطع [BC] في النقطة N .
            1. أنشئ الشكـــــل
            2. أثبت أن N منتصف [BC] .
            الشكل + البرهان :
            إقرأ المزيد