المستقيم الموازي لضلع في مثلث

تعرفنا في موضوعين سابقين على خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث  و على خاصية المستقيم المارمن منتصف أحد الأضلاع و الموازي لحامل الضلع الثاني نتابع مع خاصية ثالثة هامة و مفيدة جدا خصوصا في حل المسائل الهندسية حسابيا : سنكتشف و نتظنن خاصية المستقيم الموازي لضلع في مثلث ونورد أمثلة تطبيقية على ذلك :

المستقيم الموازي لضلع في المثلث :

أ - نشاط تمهيدي :

نعتبر مثلث ABC. و ليكن (d) مستقيم يوازي حامل الضلع [BC] و يقطع الضلعين [AB] و [AC] على التوالي في M و N. المطلوب منك في هذا النشاط هو مقارنة النسب :
  1. قم بتغيير أطوال أضلاع المثلث ABC (سحب و إفلات رؤوسه)، قم بتغيير و ضع M و N على الضلعين [AB] و [AC]. سنتكفل بدلا عنك بإجراء العمليات الحسابية و نعطيك ناتج كل نسبة على شكل قيمة مقربة إلى 0.01. المطلوب منك فقط تدوين ملاحظاتك كل مرة بخصوص  هذه النسب الثلاث.
  2. ماهي ملاحظاتك ؟ تظنن خاصية.

ب - بصفة عامة :

                خاصية :
نعتبر ABC مثلث 
إذا كانت M نقطة من [AB]  و N نقطة من [AC] وكان (MN) // (BC) فإن :

ج - تمرين تطبيقي :

              نص التمرين :
أراد ملاحظ أن يعرف عمق البئر فوقف على حافتها و أصبح يبتعد عنها وفق خط مستقيم يشمل مركز الدائرة التي قطرها متر واحد والتي تمثل فوهة البئر و عندما يختفي عنه قعرها مباشرة يجد أنه إبتعد عن حافة  البئر مسافة 80cm ( انظر الصورة اسفله). 
بفرض أن المستقيم (BC) يوازي (FD) ما هو عمق هذه البئر إذا علمت أنّ طول الملاحظ هو 1.6m ؟
الشكل + البرهان :
يمكن تطويع هذه الوضعية إلى شكل هندسي بسيط يتضمن مثلث AED قائم الزاوية في E و مستقيم (BC) يوازي (ED).
في المثلث ADE لدينا B نقطة من [AE]  و O نقطة من [AD] و لدينا  (OB) // (ED) ، إذن حسب الخاصية السالفة لدينا :
عمق هذه البئر هو : 2m.

مسألة الحكيم طاليس

طاليس يشرح للكهنة النظرية
طاليس (في اليونانية: Θαλης) من مليتوس 634 ق.م.-543 ق.م. يعرف أيضا بتالس المليسي، أحد فلاسفة الإغريق قبل سقراط وواحد من حكماء الإغريق السبعة، يعتبره العديد الفيلسوف الأول في الثقافة اليونانية وأبو العلوم. عاش طاليس في مدينة مليتوس في أيونيا، بغرب تركيا.

عندما زار طاليس مصر أُعجبَ به الكهنة المصريون، وأُعجبوا بطريقته المبتكرة في حل المسائل الرياضية التي عرضوها عليه.

ولكي يختبروا حكمة هذا الضيف اليوناني قرروا أن يطرحوا عليه مسألة رياضياتية حقيقية فأخذوه إلى أكبر الأهرام في الصحراء وطلبوا منه قياس ارتفاعه. كان الكهنة متأكدين من أن هذا العاِلم الغريب لن يتمكن من حل المشكلة. ولكن الرياضياتي اليوناني لم يرتبك. بعد تفكير قصير طلب منهم أن يحضروا له عصا. 

أحضر الكهنة العصا للضيف اليوناني معتقدين أنه سوف يتسلق الهرم ويبدأ بقياس ارتفاعه بشكل عملي مستخدماً لذلك العصا التي طلبها. ولكن طاليس لم يخطر بباله مثل هذا العمل ابداً، فقد أخذ العصا وغرزها بالرمل ثم قال للكهنة: عندما يصبح طول ظل العصا مساوياً لطولها، قيسوا طول ظل الهرم وسوف تحصلون على طول ارتفاعه ! 

دهش الحكماء المصريون من بساطة وذكاء هذه الطريقة التي اتبعها طاليس في حل مسألة صعبة ومعقدة مثل مسألة قياس ارتفاع الهرم مما اضطر الكهنة المصريين للإعتراف بأن اليونانيين رياضياتيون ممتازون. وفي واقع الأمر فإن رياضياتي اليوناني قد أغنوا رياضيات ذلك العصر بمعارفهم الكثيرة.   الرياضيات في حياتنا (زلاتكاشبورير).
في البرمجية التالية يمكنك إتباع الخطوات التي إستعملها طاليس لحل هذه المسألة :

مقارنة عددين جذريين : الترتيب و الجمع - الترتيب و الطرح

في هذا الدرس نعطي خاصية لمقارنة عددين جذريين و نتعرف على قواعد الترتيب في مجموعة الأعداد الجذرية بعلاقة مع الجمع و الطرح.

المستقيمات الهامة في المثلث : متوسطات مثلث

تعرفنا في درسين سابقين على إرتفاعات و واسطات مثلث،  في هذا الدرس نتعرف على صنف أخر من المستقيمات الهامة في المثلث  نتناول تعريف لمتوسط مثلث و الخاصية المتعلقة بمتوسطات مثلث.
متوسطات مثلث

المسائل والمعادلات : مسألة سعيد و سعيدة

ذات يوم قدم  موظف الإحصاء إلى بيت العائلة و طرق بابهم، فتح سعيد الباب و بعد التحية و السلام طلب منه الموظف أن يساعده في ملأ إستمارة العائلة سائلا إياه. 
الموظف : كم هو عدد أفراد أسرتك ؟
سعيد : نحن أربعة، أمي وأبي و أنا و أختي سعيدة.
الموظف : وكم عمر الوالدين (أطال الله في عمريهما) ؟
سعيد : عمر الأم هو 41 سنة  و الأب عمره 53 سنة.
الموظف : و كم عمرك أنت و عمر سعيدة ؟
صمت سعيد قليلا و أراد أن يختبر قدرة الموظف على الحساب  فأعطاه الجواب التالي :
      حاليا عمري هو ضعف عمر سعيدة. بعد خمس سنوات سيصبح مجموع عمرينا هو 40 سنة.
سؤال : كم هو عمر سعيد ؟ و كم هو عمر سعيدة ؟
سعيد و سعيدة

سلسلة تمارين وحلول حول قوة عدد جذري

سلسلة تمارين وحلول حول القوى في الأعداد الجذرية نتناول من خلالها حساب قوة عدد جذري ذات الأس الصحيح النسبي أو كتابة عدد على شكل قوة، نتناول كذلك خاصيات القوى و تطبيقاتها في حساب أو تبسبط تعابير رياضية. السلسلة تتضمن إثنا سبعة تمارين محلولة و ثلاث تمارين باللغة الفرنسية. يمكنك تحميل أو معاينة التمارين كي تنجزها بشكل فردي و تقارن الحلول المتوصل إليها : 

فرض منزلي 1 أكتوبر 2015 | الثانية إعدادي رياضيات + التصحيح

فرض منزلي رقم 1 في الرياضيات مستوى الثانية إعدادي ثانوي لموسم 2015-2016. الفرض يستهدف ما تعلمناه في درس تقديم  الأعداد الجذرية، الجمع و الطرح ودرس التماثل المحوري :

فرض منزلي 1 أكتوبر 2015

الأعداد الجذرية : سلسلة تمارين وحلول حول الجمع و الطرح

سلسلة تمارين وحلول حول جمع و طرح الأعداد الجذرية تتضمن أربعة تمارين توليفية متنوعة تختبر فيها معلوماتك و توالف فيها مهاراتك بغية الإنجاز الصحيح  و السليم. يمكنك تحميل التمارين بدون حلول لتنجزها بشكل فردي ثم تقارن الحلول المتوصل إليها:
الأعداد الجذرية : سلسلة تمارين وحلول حول الجمع و الطرح

الكتابة العلمية لعدد عشري نسبي

يواجه علماء ومهندسون أحياناً أعدادا وحجومًا وكميات صغيرة جدًا او كبيرة جدًا مثل: أجزاء من الألف، أجزاء من مليون، أو أجزاء من مليار، على سبيل المثال نانوتكنولوجيا او بإختصار نانوتك هو اسم يشمل مجال البحث والتكنولوجيا وهو جديد نسبيًا، يبحث باجسام ذي قياسات ذرية وصغيرة جداً جداً !
العمل مع اعدادٍ كهذه شيء غير سهل و كتابتها تستهلك الزمن ومُعَقدة. حتى اذا مررنا الحسابات للتكنولوجيا، ادخال هذه الاعداد يستهلك زمناً ودقة متناهية.

الكتابة العلمية لعدد عشري نسبي


سلسلة تمارين و حلول حول درس تقديم الأعداد الجذرية

سلسلة محلولة  حول درس تقديم الأعداد الجذرية تتناول تعريف العدد الجذري الإختزال و توحيد المقامات. يمكنك تحميل التمارين بدون حلول بغية الإنجاز الفردي قبل معاينة و مقارنة الحلول المتوصل إليها :

سلسلة تمارين و حلول حول درس تقديم الأعداد الجذرية

قواعد أساسية لمقارنة الأعداد الجذرية

في هذا الدرس الذي ينقسم إلى جزئين : نذكر بمفهوم متفاوتة، و نتعرف على الرموز الرياضياتية التي نستعملها لترتيب الأعداد الجذرية.
في الجزء الثاني نذكر بالقواعد الأساسية لمقارنة عددين جذريين في ثلاث حالات : إذا كان للعددين الجذريين نفس البسط أو نفس المقام أو هما مختلفان تماما عن بعضهما البعض.
قواعد أساسية لمقارنة الأعداد الجذرية

ماذا تعني مبرهنة فيتاغورس المباشرة ؟

مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في أي مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا، وفيلسوفا، وعالم فلك في اليونان القديمة.
مبرهنة فيتاغورس المباشرة


المعادلات و التعميل : معادلة الجداء المنعدم

المعادلة عبارة عن متساوية تتكون من مجهول واحد أو أكثر و مقادير ثابتة. فمثلا المقدار 2x² - x  لا يعتبر معادلة لعدم وجود علامة المساواة و لكن 2x² - x = 0 يعتبر معادلة. هذه الأخيرة ليست بمعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد كما رأينا في الدرس الثاني و الثالث و الرابع و إنما هي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ( لاحـــظ أن الحد 2x² مرفوع إلى الدرجة 2).

طريقة حل المعادلة التي تتضمن أعدادا كسرية

قد تبدو في بعض الأحيان المعادلات التي تتضمن كسورا (أو أعدادا جذرية) معقدة قليلا ما، لكن ما إن تستعمل مهارتين لديك هما توحيد المقامات و قواعد التناسبية إلا و تكتشف سهولة مثل هذا النوع من المعادلات حيث يمكن تؤويلها إلى معادلات بسيطة يمكننا التحكم في طريقة حلها. في الدرس الرابع نذكر بالمهارتين السابقتين و ندمجها في حل معادلات تحتوي على الكسور :

مفهوم الحجم

حجم مجسم ما هو مقدار الحيز الذي يشغله هذا المجسم من الفضاء، ويختلف عن المساحة بأنها مقياس لحيز ثنائي الأبعاد، بنيما الحجم هو مقياس لحيز ثلاثي الأبعاد. فلحساب حجم متوازي المستطيلات مثلا نضرب الإرتفاع في العرض في الطول.
مفهوم الحجم
ويقاس الحجم بوحدات خاصة، فيُقال متر مكعب أو سم مكعب، أو مليميتر مكعب دلالة على أن جسماً ما حجمه يساوي حجم مكعب طول ضلعه متر أو سم واحد. وفي أمريكا وبريطانيا تستخدم وحدات: الإنش لمكعب والقدم المكعب والياردة المكعبة. هناك وحدات خاصّة أخرى تستخدم لقياس الحجم، منها المليلتر واللتر والكوب والغالون التي تستخدم لقياس حجم السوائل. ولكنها في الغالب مشتقة من وحدات الطول بشكل أو بآخر. فاللتر مثلاً، هو عبارة عن حجم مكعب طول ضلعه واحد ديسيمتر، والديسيمتر هو عبارة عن 10 سم.
في هذا الدرس ستعرف على المجسم و نتناول مفهوم الحجم و نعطي تطبيقات على بعض المجسمات الإعتيادية :

1- ماهو المجسم :

المجسم هو كل ما يشغل حيزا من الفراغ أي كل ماله حجم ومقاس ويمكن مسكه واستخدامه و تنقسم المجسمات إلى قسمين هما :
  • المجسمات المنتظمة الحجم : وهى التي يمكن إيجاد حجمها عن طريق الحساب العادى
  • مجسمات غير المنتظمة الحجم : وهى التي لايمكن إيجاد حجمها إلا بالطرق التقليدية
المجسمات المنتظمة محددة : المكعب، متوازي المستطيلات، الكرة، الهرم، المخروط، الموشور الأسطوانة.
حساب الحجوم
المجسمات المنتظمة + صيغة الحجم

2- ماهو الحجم :

أ - تعريف :

حساب الحجوم
            حجم مجسم ما هو مقدار الحيز الذي يشغله هذا المجسم في الفضاء و نرمز له بالرمز V.

ب - مثال :

حجم متوازي المستطيلات

ج - خاصية :

يمكن أن يكون لمجسمين نفس الحجم رغم ان لهما شكلان مختلفان...(يختلفان في الأبعاد : الطول العرض و الإرتفاع):
حجم متوازي المستطيلات
متوازيا المستطيلات مختلفا الأبعاد لكن لهما نفس الحجم =  12u

تطبيق : حل مسألة حول حجم متوازي المستطيلات

مسألة رقم 1 : 3 صنادق زجاجية

         نتوفر على ثلاث صناديق بلاستيكية (A (6cm;5cm;4cm و (B (5cm;4cm;3cm و (C (3cm;3cm;2cm على شكل متوازي المستطيلات القائم. في البداية يكون الصندوق A ممتلئا عن أخره بينما الصندوقان B و C فارغين. في مرحلة ثانية نأخذ ماءا من الصندوق A و نسكبه في الصندوق B حتى يمتلئ عن أخره ثم نسكب في الصندوق C حتى يمتلئ نصفه.
المطلوب : إيجاد إرتفاع الماء المتبقي في الصندوق A.

الحــــل :

تذكير : حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الإرتفاع
ليكن (V( A  و (V( B و  (V( C حجوم الصناديق A و B و C على التوالي و ليكن h هو إرتفاع الماء المتبقي في الصندوق A :
في البداية كان الصندوق A ممتلئا عن أخره و B و C فارغين إذن :
    V( A )  =   6 cm × 5 cm × 4 cm
              =   120 cm3

 في المرحلة الثانية :
    V( B )  =   5 cm × 4 cm × 3 cm
            =  60 cm3

    V( C )  =   3 cm × 3 cm × 1 cm
            =  9 cm3

    V( A )  =   120 cm3 − 60 cm3 − 9 cm3
             =  51 cm3
الإرتفاع = الحجم ÷ ( الطول × العرض )
   ( h( A )  =    5 1 ÷   ( 6 × 5
           =  1.7 cm      
إرتفاع الماء المتبقي في الصندوق A هو 1.7 سنتمتر. 

المتطابقات الهامة بنكهة لعبة من سيربح المليون

فيما يلي لعبة من سيربح المليون التي موضوعها المتطابقات الهامة حيث سنختبر مهارتك في النشر و التعميل بواسطة المتطابقات الهامة. يمكنك قبل بدأ هذه اللعبة أن تراجع قواعد المتطابقات الهامة، إتبع هذه الروابط :
أنت تعرف طبعا قانون اللعبة المشهورة و التي حققت أكبر نسب للمشاهدة عربيا و دوليا، إلا أنه لا يحق لك في لعبتنا هاته  الإتصال بصديق، و لا يمكن أن تسأل الجمهور، لأنك ستكون وحيدا و لا يمكن أن نحدف لك إجابتين و إنما ستعتمد على نفسك : خد و رقة و قلم و قم بإجراء حساباتك ثم أشر على الجواب الصحيح.
إضغط زر تكبير بلون أحمرعلى اليمين

المثلث القائم الزاوية و الدائرة (الخاصية العكسية)

في هذا درس سابق تعرفنا على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية و برهنا أن منتصف الوتر في مثلث قائم الزاوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوسه. في هذا الدرس نتناول الخاصية العكسية :
المثلث القائم الزاوية و الدائرة

خاصية المثلث القائم الزاوية و الدائرة :

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل أسفله لدينا : ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع  [BC].
قم بتحريك النقط A و B و O ثم لاحــــظ قياس الزاوية BÄC
  1. كم هو قياس الزاوية BÄC  ؟
  2. تظنن خاصية متعلقة بالمثلث ABC.


ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و O  يبقى قياس الزاوية  BÄC هو °90.
مظنـــونة : إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .

2- البرهان على الخاصية :

          تمرين :
ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع  [BC] و ليكن I منتصف [AC].
1. برهن أن (AC) ⊥  (IO).
2. برهن أن  (AB) //  (IO).
3. إستنتج طبيعة المثلث ABC

الجــــــواب :
الشكل
1- نبرهن أن  (AC) ⊥  (IO) :
لدينا    : O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، إذن   : OA = OC  (أ)  
و منه  : O تنتمي إلى واسط القطعة [AC] (  كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة تنتمي إلى واسط هذه قطعة )
و لدينا : I منتصف القطعة [AC]، إذن   :  IA  =  IC    (ب) 
و منه  : I تنتمي إلى واسط القطعة [AC]
من (أ) و (ب) نستنتج أن : (IO) هو  واسط القطعة [AC]  ( واسط قطعة هومجموعة النقط المتساوية المسافة عن طرفيها)
إذن    :  (AC) ⊥  (IO)  (  واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).

2. نبرهن أن (AB) //  (IO) :
لدينا : I منتصف القطعة [AC]، و لدينا : O منتصف القطعة [BC]
إذن  : (AB) //  (IO) ( المستقيم المار من منتصفي ضلعين في  المثلث يوازي حامل الضلع الثالث).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعين في المثلث "

3- نستنتج طبيعة المثلث ABC :
لدينا : (AC) ⊥  (IO) و (AB) //  (IO)
إذن  : (AB) ⊥  (AC) (  إذا كان مستقيمان متوازيين فكل عمودي على أحدهما يكون عموديا على الأخر )
و منه : المثلث ABC قائم الزاوية في النقطة A.
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصيات التوازي و التعامد "

3- خاصية هامة :

          خاصية :
إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .
بتعبير أخر :
           بتعبير أخــــر :
ABC مثلث و O منتصف[BC]
 إذا كان  OA = OB = OC   فإن : ABC مثلث قائم الزاوية في A

تمرين تطبيقي :

         تمرين :
AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E و C هي مماثلة النقطة A بالنسبة للنقطة E
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث ABC ؟ علل جوابك .

الحــــل :
1–
الشكـــــــــل
2 – طبيعة المثلث  ABC  :
     نعلم أن  :  AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E .
    إذن       :   EA = EB   . (أ)
  و نعلم أن  :  C هي مماثلة A بالنسبة للنقطة E .
         إذن  :  E  منتصف [AC] .
 و منه فإن  :  EA = EC  ‚ .(ب)
من  (أ) و(ب)   نستنتج أن  :   EA = EB = EC .
      و بالتالي :
     لدينا في المثلث ABC  :
             E منتصف [AC]
      و
             EA = EB = EC
       إذن   :    ABC مثلث قائم الزاوية في B.

تمارين إضافية للإنجاز الفردي :

النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b)=a²-b²)

المتطابقة الهامة الثالثة هي متساوية جبرية يتضمن أحد طرفيها جداء صيغتين مترافقتين (a - b )( a + b ) و الطرف الأخر يتضمن فرق مربعين a² - b² و تستعمل لتيسير العمليات الحسابية والنشر والتعميل.
في هذا الدرس تدريب على طريقة النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة رقم 3 مسبوق بتذكير و أمثلة و مرفوق  بتمارين محوسبة و أخرى محلولة أو للإنجاز الفردي :
النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة

معلومات أساسية :

1 - التعرف على المتطابقة :  a - b )( a + b ) = a² - b² )

يمكن أن نبرهن على صحة هذه المتساوية كالتالي :
جبريا  :
سنقوم بنشر الطرف الأيسر من المتساوية (a - b)(a + b) و نتصرف هكذا :
(a - b)(a + b) = a×a + a×b - b×a - b×b
                      = a²  + ab - ba - b²
                      = a²  + ab - ab - b²
                      = a² - b²
 (a - b)(a + b) = a² - b² 
هندسيا :
يمكن أن ننشئ مستطيل طوله a + b و عرضه a - b حيث a و b عددان جذريان و a>b و نحسب مساحة هذا المستطيل بطريقتين مختلفتين :
S =  (a - b)(a + b) + ab + b²                
أو :
S =  a² + b² +  b(a - b)
   =  a² + b² + ab - b²
   =  a² + ab
ومنه :
(a - b)(a + b ) + ab + b² =  a² + ab
(a - b)(a + b )  + b² =  a² 
(a - b)(a + b )  =  a² - b²
 (a - b)(a + b) = a² - b²  
البرمجية التالية تشرح نفس الطريقة بكيفية أخرى : يمكنك إيقاف العرض و تتبع المراحل بإستعمال النقطة P قم بمسك وسحب P نحو الأسفل :
بصفة عامة : مهما يكن a و b عددان جذريان فإن
أمثلة :
(x - 6)(x + 6) = x² - 6² = x² - 36
(2x + 7)(2x - 7) = (2x)² - 7² = 4x² - 49
y² - 81 = y² - 9² = (y - 9)(y + 9)
9 - 16y² = 3² - (4y)² = (3 - 4y)(3 + 4y)

2 - تدريب على المتطابقة :  a - b )( a + b ) = a² - b² )

أتمم ملأ الجدول التالي :

النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b)=a²-b²)

1- النشر بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)

عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من (a - b)(a + b) ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى a² - b² ) نقول أننا نشرنا المتطابقة :
         تمرين : أنشر و بسط مايلي
          (A= (x - 11)(x + 11)                 C = (5x - 1)(5x + 1)             B = (3 - z)(3 + z
الحل :
(C = (3 - z)(z + 3
(B = (5x - 1)(5x + 1
(A= (x - 11)(x + 11
C = 3² - z²
C = 9 - z²
B = (5y)² - 1²
B =  25x² - 1
A = x² - 11²
A = x² - 121
تمارين إضافية :

2- التعميل  بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)

عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من a² - b² ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى (a - b)(a + b) ) نقول أننا عملنا المتطابقة :
         تمرين : عمل مايلي
                    9 - ²(1 -  A= x² - 25                 B = 9y² - 64             C = (2x
الحل :
C = (2x -1)² - 9
B = 9y² - 64
A= x² - 25
C = (2x -1)² - 3²
(C = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3
(2 + C = (2x - 4)(2x
B = (3y)² - 8²
(B =  (3y - 8)(3y + 8
A = x² - 5²
(A =  (x - 5)(x + 5
تمارين إضافية :

خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

في هذا الدرس سنتعرف على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية:
خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل جانبه لدينا :
ABC مثلث قائم الزاوية في A
I منتصف الوتر [BC]
                                                                               
قم بتحريك النقط A و B و I
ماذا تلاحـــــظ ؟
تظنن خاصية متعلقة بذلك

  
ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و I تبقى المسافات IA و IB و IC متساوية.
مظنـــونة : منتصف و تر مثلث قائم الزلوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوســـه.

2- البرهان على الخاصية :

          تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف الوتر [BC] و ليكن (d) و اسط القطعة [AC].
1. برهن أن (AB) // (d).
2. برهن أن النقطة I تنتمي إلى (d).
3. إستنتج أن IA = IB = IC.
الجــــــواب :
الشـــــكل + المعطيات
1- نبرهن أن  (AB) // (d) :

لدينا المثلث ABC قائم الزاوية في A إذن    : (AB) عمودي على  (AC)        (أ)
لدينا المستقيم (d) و اسط القطعة [AC] إذن : (d)    عمودي على   (AC)     (ب)
من (أ) و (ب) نستنتج أن (AB) // (d). (مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان)

2. نبرهن أن النقطة I تنتمي إلى (d) :

لدينا (d) يوازي (AB) و يمرمن منتصف القطعة  [BC] ( واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).
إذن (d) يقطع [BC] في منتصفها I (المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي للضلع الثاني يقطع الثالث في منتصفه).
ومنه  I تنتمي إلى (d).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني "

3- نستنتج أن IA = IB = IC :

I تنتمي إلى (d) تعني أن :   IA = IC      C            (ج)  ( كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيها )
I منتصف [BC] تعني أن :   IA = IB      B           (د)
من (ج) و (د) نستنتج أن  IA = IB = IC

3- خاصية هامة :

   إذا كان مثلث قائم الزاوية فإن منتصف وتره يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه.
بتعبير أخر :
   إذا كان ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف[BC]
 فإن : IA = IB = IC .

تمرين تطبيقي :

         تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث : ABC = 50°  و M منتصف [BC] .
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث AMB ؟ علل جوابك .
3 – استنتج قياس الزاوية MAB .
الحــــل :
1–
الشــــــكل
2 – طبيعة المثلث  AMB  :
          نعلم أن  :  ABC مثلث قائم الزاوية في A .
   و
          M منتصف الوتر [BC] .
  إذن  :  MA = MB = MC .   أي :  MA = MB .
   و منه فإن المثلث  AMB متساوي الساقين رأسه M .

3 – لنستنتج قياس الزاوية   MAB  :
         نعلم أن :    AMB مثلث متساوي الساقين في E .
             إذن  :    زاويتا القاعدة متقايستين MAB = MBA
       و بما أن :   MBA = 50°    فإن  :     MAB = 50°
تمارين إضافية للإنجاز الفردي :

المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد : معادلة بأقواس

معادلة بأقواس
تعرفنا على المعادلة البسيطة ذات الخطوتين و تعرفنا على مراحل إنجازها و طريقة حلها، في الدرس الثالث سنتابع مع المعادلات المتعددة الخطوات وهذه المرة مع المعادلة التي تتضمن أقواسا.
طريقة حل هذه الأخيرة لا تختلف عن طريقة حل المعادلة البسيطة، حيث أنك كلما كنت ملما بقواعد إزالة الأقواس المسبوقة بعلامة + أو - و قاعدة النشر إلا وجدت نفسك تجيد حل مثل هكذا معادلات بأقواس، المبدأ في الحل هو إزالة الأقواس في المعادلة أولا كي نحصل على معادلة البسيطة.

أنشطة التمهيد المعادلة البسيطة معادلة بأقواس

قاعدة + أمثلة :

قاعدة النشر :
               إذا كانت a و b و k أعداد حقيقية فإن :
k(a + b) = ka + kb   و  k(a - b) = ka - kb

حالة خاصة :

**/ إذا كان k = 1  فإن : a  +  b) = a + b) +
**/ إذا كان k = -1 فإن : a  +  b) = -a - b) -

تطبيق :  حل المعادلة
2(x + 5) = 3 - (x + 7)
1. ننشر بإستعمال القاعدة السابقة حتى نقصي جميع الأقواس:

2. بعد عملية النشر و إزالة الأقواس نحصل على معادلة بسيطة من النوع ax + b = cx + d : (أنظر طريقة إنجاز هنا)
أنظر طريقة إنجاز هنا 
3. نجمع المعاليم في طرف و المجاهيل في طرف مع تغيير إشارة كل حد إنتقل من طرف إلى أخر :

4. أخيرا :     x = -14
حـــل هذه المعادلة هو : 14-

أمثلــــة محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك التدرب على هذا النوع من المعادلات، سنرافقك في الحل خطوة بخطوة فقط ضع علامة صح على في الخانة و تتبع مراحل الإنجاز. في كل مرة إنتهيت يمكنك الضغط على معادلة جديدة :
أمثلة و شروحات بالفيديو :

تمارين و حلول :

المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد : المعادلة البسيطة

المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
كل متساوية من النوع ax + b = 0  تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، و تعرف أيضا بمعادلة الخطوتين حيث نعتمد في حلها على خطوتين فقط. في هذه الحصة سنتعرف على هذه المعادلة و نتناول طريقة حلها.

سيكون من المفيد إتقان مراحل إنجازالمعادلة ax + b = 0 لأن أغلب المعادلات المقررة في منهاج السنة الثانية ثانوي إعدادي تؤول في حلها الى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد من شاكلة ax + b = 0.
أنشطة تمهيدية حول المعادلات

معارف أساسية :

   قاعدة 1 :   

          في معادلة يمكن أن نضيف أو نطرح من طرفيها نفس العدد دون أن تتغير هذه المعادلة
   قاعدة 2 :   
          في معادلة يمكن أن نضرب أو نقسم طرفيها على نفس العدد الغير المنعدم دون أن تتغير هذه المعادلة
قاعدة 2 المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
 بصفة عامة : 

نعتبر المعادلة ax + b = 0 و لنفرض ان a يخالف 0.
بالأعتماد على القاعدة 1 و القاعدة 2 يمكن نحل هذه المعادلة بخطوتين كالتالي :

خطوة 1  نطرح b من طرفي المعادلة   :    ax + b - b = 0 - b   نحصل على  ax  =  - b
خطوة 2  نقسم  طرفي المعادلة على a ة :    ax ÷ a = -b÷a   نحصل على  x  = -b/a

   تعريف  :    
              a و b و x أعداد حقيقية .
كل متساوية على شكــل : ax + b = 0 تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد هو x.
** / إذا كان : a يخالف 0 و b يخالف 0 فإن : للمعادلة ax + b = 0 حــلا وحيدا هو b/a-.
** / إذا كان : a يخالف 0 و b يساوي 0 فإن : للمعادلة ax + b = 0 حــلا وحيدا هو العدد 0 .
** / إذا كان : a يساوي 0 و b يساوي 0 فإن : للمعادلة ax + b = 0 عدة حلول .
** / إذا كان : a يساوي 0 و b يخالف 0 فإن : المعادلة ax + b = 0 ليس لها حـــلا .
  أمثلــة  :   
  • 2x - 4 = 0 =>  x = 4/2 => x = 2
  • 3x + 8 = 0 =>  x = -8/3
  • 7x  = 0 =>  x = -0/7 => x = 0
  • 0x + 18 = 0 =>   ليس لها حـــلا . 
المزيد من الأمثلة :

    شروحات بالفيديو :   

المعادلة : ax + b = cx + d 

في الحقيقة هذه المعادلة لا تختلف كثيرا عن المعادلة السابقة و يمكن إعتبارها هي الأخرى بسيطة. هنا تظهر لنا الحدود التي تتضمن المجهول في طرفي المعادلة و الحدود المعلومة هي الأخرى متفرقة على طرفي المعادلة.
سنستعمل نفس القواعد السابقة لحل مثل هكذا معادلات :

مثــــــال : حل المعادلة 5x + 2 = 3x - 10

مثال المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

يمكن أن نختصر بعض الحسابات و نتبع الخطوات التالية و هي تفيد نفس معنى ما قمنا به أعلاه :
1- نجمع الحدود التي تتضمن المجهول في الطرف الأيسر من المعادلة مع تغيير إشارة كل حد إنتقل من طرف إلى الطرف الأخر.
2- نجمــــع الحدود المعلومة في الطرف الأيمن من المعادلة مع تغيير إشارة كل حد إنتقل من طرف إلى الطرف الأخر.
3- نجري الحساب و نجد قيمة  x.
5x  +    2 =  3x  - 10
الأعداد المعلومة في طرف و الأعداد المجهولة في الطرف الأخر :
2 - 5x - 3x =  - 10
نحسب ونبسط طرفي المعادلة :
2x = -12
نقسم طرفي المعادلة على 2 :
x = -12/2
نختزل و نجد حل المعادلة :
x = -6

أمثلة محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك أن تتدرب على حل هذا النوع من المعادلات بإستعمال الطريقة السابقة. قم بكتابة المعادلة التي تريد و سنرافقك في مراحل إنجازها. قم بمسك و تحريك النقطة البنفسجية على الخط الرأسي :

أمثلة بالفيديو :

واجبات الدرس الثاني :

1 - الإختبار القصير


2- تمارين منزلية :