مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في أي مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا، وفيلسوفا، وعالم فلك في اليونان القديمة.
مبرهنة فيتاغورس المباشرة

نستعمل مبرهنة فيثاغورس المباشرة لحساب طول ضلع في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طول الضلعين الأخرين.

مبرهنة فيتاغورس المباشرة : خاصية مباشرة

1 - من هو فيتاغورس ؟ ...  نبذة قصيرة :

مبرهنة فيتاغورس المباشرة
Pythagore
فيثاغورس ( 580 - 500 ق.م ) هو عالم رياضيات يوناني، إهتم اهتماما كبيرا بالرياضيات وخصوصا بالأرقام وقدس الرقم عشرة لأنه يمثل الكمال (اي الشئ الكامل التام) كما اهتم بالموسيقى وقال أن الكون يتألف من التمازج بين العدد والنغم. أجبر فيثاغورس أتباعه من دارسي الهندسة على عدة أمور قال أنه نقلها في رحلاته من المزاولين للهندسة : ارتداء الملابس البيضاء، التأمل في أوقات محددة، الامتناع عن أكل اللحوم، الامتناع عن أكل الفول.

استطاع فيثاغورس إثبات نظريته مبرهنة فيتاغورس في الرياضيات والتي تقول : في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة، عن طريق حسابه لمساحة المربعات التي تقابل كل ضلع من أضلاع المثلث قائم الزاوية.
استفاد الكثير من المهندسين في العصر الحاضر من هذه النظرية في عملية بناء الأراضي.

في البرمجية التالية يمكنك معاينة برهان ديناميكي لمبرهنة فيتاغورس بإستعمال مساحات المربعات الناشئة إنطلاقا من أضلاع المثلث القائم الزاوية (إضغط زر تشغيل) :

1 - خاصية  مباشرة:

المقصود من مبرهنة  فيتاغورس المباشرة هو النص الأصلي للمبرهنة الأساسية لأن هناك النص العكسي للمبرهنة أيضاً ويعرف بمبرهنة فيتاغورس العكسية.
يمكن وضع هذه المبرهنة في قالب رياضياتي كما يلي :
        خاصية مباشرة :
إذا كان ABC  مثلث قائم الزاوية في  A
مبرهنة فيتاغورس المباشرة 

فإن :           BC² = AB² + AC²

2 - تطبيق :

ABC مثلث قائم الزاوية في A  حيث : AB = 6  و AC = 8
أحسب BC
الشكل

المثلث ABC مثلث قائم الزاوية في A  إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا :
BC² = AB² + AC²               
BC² = 6² + 8²               
BC² = 36 + 64               
BC² = 100               
               BC = √(100)
BC = 10               
ملاحظـــــة : نستعمل الألة الحاسبة لتحديد قيمة الجذر التربيعي للعدد 100 ( 10 =(100)√ )
طول الوتر BC هو 10cm.

تمارين محلولة :

           مسألـــــة :   
إشترى عمر خزانة خشبية على شكل متوازي المستطيلات ثم و ضعها بشكل أفقي على الأرضية. إستعان ببعض من زملائه لرفع الخزانة حتى تأخد وضعا عموديا (أنظر الشكل).
هل يستطيع عمر فعل ذلك؟ عـــــلل حوابك
الحـــــل :
كي يتأكد عمر من أن الخزانة ستتخد و ضعا عموديا و لن يعيقه السقف، عليه أن يحسب الطول AC ( أنظر الشكل ). فإن كان ناتج حساب AC أصغر من 2.1 متر ( إرتفاع السقف ) سيستطيع، و في حالة العكس لن يستطيع عمر.
في المثلث ABC القائم الزاوية في B لدينا حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة :
AC² = BC² + AB²               
AC² = 0.7² + 2²               
AC² = 0.49 + 4               
AC² = 4.49               
               AC = √(4.49)
11.AC = 2                
ملاحظـــــة : نستعمل الألة الحاسبة لتحديد قيمة مقربة للجذر التربيعي للعدد 4.49 ( 2.11896201004 =(4.49)√ )
لن يستطيع عمر فعل ذلك لأن : 2.11  >  2.1

           تمرين رقم 2 :
نعتبر دائرة مركزها O و شعاعها 0.5 = r و[BC] قطر فيها .
لتكن A نقطة من هذه الدائرة حيث AC = 4/5
  1. لماذا ABC مثلث قائم الزاوية في A ؟
  2. أحسب محيط المثلث ABC
الحــــل :
الشكل
1. نبين أن ABC مثلث قائم الزاوية في A :
لدينا     : O هو منتصف [BC] إذن : OB = OC = r
ولدينا   : A نقطة من الدائرة إذن OA = r
منه فإن : OA = OB = OC
أي أن   : ABC مثلث قائم الزاوية في A
             يمكنك معاينة الخاصية المستعملة في هذه الصفحة

2. نحسب محيط المثلث ABC
كي نحسب محيط المثلث ABC  يلزمنا أولا حساب طول الضلع AB
في المثلث ABC القائم الزاوية في A لدينا حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة :
محيط المثلث ABC :
          تمرين رقم 3 :
مبرهنة فيتاغورس المباشرة
علما أن : AI = JC = c
بين أن : IJ² = b² + ( a - 2c )²
الحـــــــل :
مبرهنة فيتاغورس المباشرة
في المثلث IEJ القائم الزاوية في E لدينا حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة :
إقرأ المزيد

ذات يوم قدم  موظف الإحصاء إلى بيت العائلة و طرق بابهم، فتح سعيد الباب و بعد التحية و السلام طلب منه الموظف أن يساعده في ملأ إستمارة العائلة سائلا إياه. 
الموظف : كم هو عدد أفراد أسرتك ؟
سعيد : نحن أربعة، أمي وأبي و أنا و أختي سعيدة.
الموظف : وكم عمر الوالدين (أطال الله في عمريهما) ؟
سعيد : عمر الأم هو 41 سنة  و الأب عمره 53 سنة.
الموظف : و كم عمرك أنت و عمر سعيدة ؟
صمت سعيد قليلا و أراد أن يختبر قدرة الموظف على الحساب  فأعطاه الجواب التالي :
      حاليا عمري هو ضعف عمر سعيدة. بعد خمس سنوات سيصبح مجموع عمرينا هو 40 سنة.
سؤال : كم هو عمر سعيد ؟ و كم هو عمر سعيدة ؟
سعيد و سعيدة
مرجع : مسألة رقم 32 صفحة 90 كتاب المسار رياضيات الثانية ثانوي إعدادي
طريقة و منهجية : 
لحل هذه المسألة سنقوم بترييضها، و المعنى :
          ترييض مسألة يعني التعبير عنها بواسطة معادلة ، يسمح حلها بإعطاء جواب عن المسألة المعطاة.
لحل مسألة بواسطة معادلة يُحبّذ إتباع الخطوات الآتية:
  1. قراءة نص المسألة بتمعن واختيار مجهول مناسبا .
  2. كتابة المعلومات الواردة في النص بدلالة هذا المجهول ، ووضعها في شكل معادلة مناسبة.
  3. حل هذه المعادلة.
  4. إعطاء الجواب عن المسألة المطروحة في جملة و التأكد من صحتها.
الحل :

1- إختيار المجهول

نفرض أن x هو العمرالحالي لسعيدة، إذن سيكون عمر سعيد هو 2x
...
...
...

بعد 5 سنوات سيكون عمر سعيدة هو x + 5 و عمر سعيد هو 2x + 5

2- صياغة المعادلة :

3- حل المعادلــــة :

4- الرجوع إلى المسألة

عمرسعيدة هو 10 سنوات بينما عمر سعيد هو 20 سنة (الضعف)
بعد خمس سنوات سيكون عمريهما على التوالي ( سعيدة : 15 = 5 + 10) و ( سعيد : 25 = 5 + 20)
و لدينا : 40 = 15 + 25
إقرأ المزيد

المعادلة عبارة عن متساوية تتكون من مجهول واحد أو أكثر و مقادير ثابتة. فمثلا المقدار 2x² - x  لا يعتبر معادلة لعدم وجود علامة المساواة و لكن 2x² - x = 0 يعتبر معادلة. هذه الأخيرة ليست بمعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد كما رأينا في الدرس الثاني و الثالث و الرابع و إنما هي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ( لاحـــظ أن الحد 2x² مرفوع إلى الدرجة 2).

في الدرس الخامس سنتعرف على طريقة حل هذا النوع من المعادلات حيث سنستعمل تقنية التعميل لتؤويلها على شكل معادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد :

قاعدتان هامتان :

1)- قاعدة التعميل :

التعميل هو تقنية لمفهوم رياضي نستعملها كي نكتب مجموع على شكل جداء ونعتمد المتطابقات الهامة و القاعدة الأساسية التالية:
                 قاعــــدة :              a و b و k أعداد جذرية :

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²
(a² - b² = (a - b)(a + b
أمثلة :

3x + 6y = 3.x + 3.2y = 3(x + 2y)
(x + 3)² + (2 + x)(x + 3) =  (x + 3)(x + 3) + (2 + x)(x + 3)
                          =  (x + 3)(x + 3 + 2 + x)
                          =  (x + 3)(2x + 5)

2)- قاعدة الجداء المنعدم :

                قاعـــدة : يكون جداء منعدما إذا كان أحد عوامله منعدما :

 A×B = 0 => A = 0 أو  B = 0
أمثلة :

(x + 3)(2x + 5) = 0 => x + 3 = 0 ou  2x + 5 = 0
2x² - x = 0 => x(2x - 1) = 0 => x = 0 ou 2x - 1 = 0

معادلات خاصة :

المعادلة : x² = a

هذه المعادلة ليست من الدرجة الأولى بمجهول واحد، طبعا طريقة حلها ستختلف قليلا -("سنستعمل تقنية التعميل")- وكي نحلها سننظر إلى الحالات التي يمكن أن يكون عليها a  حيث يمكن أن يكون a سالبا قطعا أو مساويا ل 0 أو موجب قطعا . تحديد حلول هذه المعادلة سيكون وفق الحالات  :
**1//  إذا كان a < 0 فإن المعادلة السابقة لا حل لها (مربع عدد لا يمكن أن يكون سالبا)


**2//  إذا كان a = 0 فإن المعادلة السابقة تصبح x² = 0 أي أن x = 0 ( للمعادلة حل وحيد هو 0)


**3//  إذا كان a > 0 فإن :
في هذه الحالة يكون للمعادلة حلين .

مثال : حل المعادلتين  3x² = 75 و 2x² = -8 

الحل :

3x²  = 75 => x²  = 75/3 => x²  = 25  => x  = 5 ou x = -5
للمعادلة حلين هما 5 و 5-.
2x²  = -8 => x²  = -8/2 => x²  = -4
هذه المعادلة لاحل لها لأن 4- عدد سالب.

المعادلة :  0 = (ax + b)(cx + d)

و تعرف بمعادلة الجداء المنعدم حيث يتضمن طرفها الأيسرجداء التعبيرين ax + b  و cx + d و طرفها الأيمن يحتوي 0. حل مثل هذا النوع من المعادلات سيكون يسيرا لأنه بتطبيق قاعدة الجداء المنعدم الواردة أعلاه سنكون بصدد حل معادلتين بسيطتين من الدرجة الأولى بمجهول واحد و هما  0 =  ax + b و 0 = cx + d.

مثال : حل المعادلة  3x - 9)(2x + 5) = 0)

(3x - 9)(2x + 5) = 0 => 3x - 9 = 0 ou  2x + 5 = 0 
                     => 3x = 9  ou  2x = -5 
                     => x = 9/3 ou  x = -5/2
                     => x = 3 ou  x  = -2.5
للمعادلة حلين هما 3 و 2.5-
أمثلة لمعادلات محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك معاينة و تتبع إنجازحل مجموعة من المعادلات، ضع علامة صح في المربع الصغير تعرف على حل المعادلة التي أمامك ثم أطلب معادلة جديدة :

تمرين محلول :

               تمرين :

                                  نضع : (5 + E = x² + 10x + 25 - (3x + 3)(x  
 1). عمل x² + 10x + 25
 2). إسنتنج تعميلا ل E
 3). حـــل المعادلة E = 0
الحــــل :

1). x² + 10x + 25 = x² + 2.x.5 +5² = (x + 5)²    متطابقة هامة رقم 1
2)E = x² + 10x +25 - (3x + 3)(x + 5)
      = (x + 5)² - (3x + 3)(x + 5)
      = (x + 5)[ (x + 5) - (3x + 3)]
      = (x + 5)[ x + 5 - 3x - 3]
      = (x + 5)( -2x + 2)
3)E = 0
    => x² - 10x +25 - (3x + 3)(x+5)= 0
    => (x + 5)( -2x + 2) = 0
    => x + 5 = 0  ou  -2x + 2 = 0
    => x = -5 ou  -2x = -2 
    => x = -5 ou  x = 1
للمعادلــــة حلين هما 1 و 5- 
إقرأ المزيد

قد تبدو في بعض الأحيان المعادلات التي تتضمن كسورا (أو أعدادا جذرية) معقدة قليلا ما، لكن ما إن تستعمل مهارتين لديك هما توحيد المقامات و قواعد التناسبية إلا و تكتشف سهولة مثل هذا النوع من المعادلات حيث يمكن تؤويلها إلى معادلات بسيطة يمكننا التحكم في طريقة حلها. في الدرس الرابع نذكر بالمهارتين السابقتين و ندمجها في حل معادلات تحتوي على الكسور :
أنشطة التمهيد المعادلة البسيطة معادلة بأقواس معادلة كسرية

1 - قاعدتان أساسيتان :

أ ) - قاعدة توحيد المقامات :

توحيد المقامات هو تقنية لمفهوم رياضي نستعملها لتسهيل جمع أو طرح الأعداد الكسرية أو ( الجدرية)، الفكرة الأساسية من وراءه تتمثل في جعل عددين أو عدة أعداد كسرية تشترك بذات المقام، وهو الأمر الذي يعني ببساطة الحديث عن نفس الوحدة عند جمع البسوط.
          قاعدة 1 :

عندما نضرب (أو نقسم) بسط و مقام عدد كسري (أوجدري) في نفس العدد الغير المنعدم نحصل على كسر مساو له.

مثال : وحد مقامي العددين 4/7  و 5/8

ب) - قاعدة جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين :

هذه القاعدة تعرف بقاعدة جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين :
الطرفين هما العددين a و d و يشغلان طرفي التناسب المؤلف من الأعداد a و b و c  و d في هذا الترتيب.
الوسطين نقصد بهما b و c .
           قاعدة 2 :

a وb وc أعداد حقيقية حيث a و b معا يخالفان 0 :

أمثلــــة :

طريقة حل المعادلة التي تحتوي على الكسور:

هناك عدة طرق لحل المعادلات التي تحتوي على الكسور، هذه الطرق ربما تختلف عن بعضها قليلا بحكم القواعد و المهارات الحسابية التي نستعملها، لكنها تؤدي نفس الوظيفة هي حل معادلة كسرية من الدرجة الأولى بمجهول واحد، سنقترح عليك ثلاث و عليك أن تختار الطريقة المناسبة لك :
مثال  : حل المعادلة التالية :

الحـــل

  الطريقة الأولى : توحيــــد المقامات                 
في هذه الطريقة نقوم بثلاث خطوات :
      1. نوحد المقامات ( في هذا المثال المقام الموحد ل 9 و 18 و 6 هو 18 )
      2. نضرب طرفي المعادلة  في المقام الموحد ( في هذا المثال المقام الموحد هو 18 ).
      3. نحل المعادلة المحصل عليها ( بعد أن نكون قد تخلصنا من الكسور)

  الطريقة الثانيـة : جداء الطرفين = حداء الوسطين 
في هذه الطريقة نقوم أيضا بثلاث خطوات :
      1. نحسب كل طرف في المعادلة على حدى
      2. نستعمل قاعدة جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين
      3. نحل المعادلة المتحصل عليها ( بعد أن نكون قد تخلصنا من الكسور)

  الطريقة الثالثـة : بإستعمال الطريقة العادية          
      1. نعزل المجاهيل على المعاليم في طرفي المعادلة
      2.نجمـــع المجاهيل في طرف و المعاليم في الطرف الأخر من المعادلـــة.
      3. نحل المعادلة المتحصل عليها.

أمثلة و معادلات محوسبة :

في هذه البرمجية يمكنك التدرب على طريقة حل المعادلة الكسرية خطوة بخطوة ، فقط ضع علامة صح في الخانة و سنرافقك في الحل.
كلما أنهيت المعادلة يمكنك طلب أخرى جديدة : 

واجبات الدرس الرابع:

إختبار قصير :


تمارين إضافية :

إقرأ المزيد

حجم مجسم ما هو مقدار الحيز الذي يشغله هذا المجسم من الفضاء، ويختلف عن المساحة بأنها مقياس لحيز ثنائي الأبعاد، بنيما الحجم هو مقياس لحيز ثلاثي الأبعاد. فلحساب حجم متوازي المستطيلات مثلا نضرب الإرتفاع في العرض في الطول.
مفهوم الحجم
ويقاس الحجم بوحدات خاصة، فيُقال متر مكعب أو سم مكعب، أو مليميتر مكعب دلالة على أن جسماً ما حجمه يساوي حجم مكعب طول ضلعه متر أو سم واحد. وفي أمريكا وبريطانيا تستخدم وحدات: الإنش لمكعب والقدم المكعب والياردة المكعبة. هناك وحدات خاصّة أخرى تستخدم لقياس الحجم، منها المليلتر واللتر والكوب والغالون التي تستخدم لقياس حجم السوائل. ولكنها في الغالب مشتقة من وحدات الطول بشكل أو بآخر. فاللتر مثلاً، هو عبارة عن حجم مكعب طول ضلعه واحد ديسيمتر، والديسيمتر هو عبارة عن 10 سم.
في هذا الدرس ستعرف على المجسم و نتناول مفهوم الحجم و نعطي تطبيقات على بعض المجسمات الإعتيادية :

1- ماهو المجسم :

المجسم هو كل ما يشغل حيزا من الفراغ أي كل ماله حجم ومقاس ويمكن مسكه واستخدامه و تنقسم المجسمات إلى قسمين هما :
  • المجسمات المنتظمة الحجم : وهى التي يمكن إيجاد حجمها عن طريق الحساب العادى
  • مجسمات غير المنتظمة الحجم : وهى التي لايمكن إيجاد حجمها إلا بالطرق التقليدية
المجسمات المنتظمة محددة : المكعب، متوازي المستطيلات، الكرة، الهرم، المخروط، الموشور الأسطوانة.
حساب الحجوم
المجسمات المنتظمة + صيغة الحجم

2- ماهو الحجم :

أ - تعريف :

حساب الحجوم
            حجم مجسم ما هو مقدار الحيز الذي يشغله هذا المجسم في الفضاء و نرمز له بالرمز V.

ب - مثال :

حجم متوازي المستطيلات

ج - خاصية :

يمكن أن يكون لمجسمين نفس الحجم رغم ان لهما شكلان مختلفان...(يختلفان في الأبعاد : الطول العرض و الإرتفاع):
حجم متوازي المستطيلات
متوازيا المستطيلات مختلفا الأبعاد لكن لهما نفس الحجم =  12u

تطبيق : حل مسألة حول حجم متوازي المستطيلات

مسألة رقم 1 : 3 صنادق زجاجية

         نتوفر على ثلاث صناديق بلاستيكية (A (6cm;5cm;4cm و (B (5cm;4cm;3cm و (C (3cm;3cm;2cm على شكل متوازي المستطيلات القائم. في البداية يكون الصندوق A ممتلئا عن أخره بينما الصندوقان B و C فارغين. في مرحلة ثانية نأخذ ماءا من الصندوق A و نسكبه في الصندوق B حتى يمتلئ عن أخره ثم نسكب في الصندوق C حتى يمتلئ نصفه.
المطلوب : إيجاد إرتفاع الماء المتبقي في الصندوق A.

الحــــل :

تذكير : حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الإرتفاع
ليكن (V( A  و (V( B و  (V( C حجوم الصناديق A و B و C على التوالي و ليكن h هو إرتفاع الماء المتبقي في الصندوق A :
في البداية كان الصندوق A ممتلئا عن أخره و B و C فارغين إذن :
    V( A )  =   6 cm × 5 cm × 4 cm
              =   120 cm3

 في المرحلة الثانية :
    V( B )  =   5 cm × 4 cm × 3 cm
            =  60 cm3

    V( C )  =   3 cm × 3 cm × 1 cm
            =  9 cm3

    V( A )  =   120 cm3 − 60 cm3 − 9 cm3
             =  51 cm3
الإرتفاع = الحجم ÷ ( الطول × العرض )
   ( h( A )  =    5 1 ÷   ( 6 × 5
           =  1.7 cm      
إرتفاع الماء المتبقي في الصندوق A هو 1.7 سنتمتر. 
إقرأ المزيد

فيما يلي لعبة من سيربح المليون التي موضوعها المتطابقات الهامة حيث سنختبر مهارتك في النشر و التعميل بواسطة المتطابقات الهامة. يمكنك قبل بدأ هذه اللعبة أن تراجع قواعد المتطابقات الهامة، إتبع هذه الروابط :
أنت تعرف طبعا قانون اللعبة المشهورة و التي حققت أكبر نسب للمشاهدة عربيا و دوليا، إلا أنه لا يحق لك في لعبتنا هاته  الإتصال بصديق، و لا يمكن أن تسأل الجمهور، لأنك ستكون وحيدا و لا يمكن أن نحدف لك إجابتين و إنما ستعتمد على نفسك : خد و رقة و قلم و قم بإجراء حساباتك ثم أشر على الجواب الصحيح.
إضغط زر تكبير بلون أحمرعلى اليمين
إقرأ المزيد

في هذا درس سابق تعرفنا على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية و برهنا أن منتصف الوتر في مثلث قائم الزاوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوسه. في هذا الدرس نتناول الخاصية العكسية :
المثلث القائم الزاوية و الدائرة

خاصية المثلث القائم الزاوية و الدائرة :

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل أسفله لدينا : ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع  [BC].
قم بتحريك النقط A و B و O ثم لاحــــظ قياس الزاوية BÄC
  1. كم هو قياس الزاوية BÄC  ؟
  2. تظنن خاصية متعلقة بالمثلث ABC.


ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و O  يبقى قياس الزاوية  BÄC هو °90.
مظنـــونة : إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .

2- البرهان على الخاصية :

          تمرين :
ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع  [BC] و ليكن I منتصف [AC].
1. برهن أن (AC) ⊥  (IO).
2. برهن أن  (AB) //  (IO).
3. إستنتج طبيعة المثلث ABC
الجــــــواب :
الشكل
1- نبرهن أن  (AC) ⊥  (IO) :
لدينا    : O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، إذن   : OA = OC  (أ)  
و منه  : O تنتمي إلى واسط القطعة [AC] ( كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة تنتمي إلى واسط هذه قطعة )
و لدينا : I منتصف القطعة [AC]، إذن   :  IA  =  IC    (ب) 
و منه  : I تنتمي إلى واسط القطعة [AC]
من (أ) و (ب) نستنتج أن : (IO) هو  واسط القطعة [AC]  (واسط قطعة هومجموعة النقط المتساوية المسافة عن طرفيها)
إذن    :  (AC) ⊥  (IO)  ( واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).

2. نبرهن أن (AB) //  (IO) :
لدينا : I منتصف القطعة [AC]، و لدينا : O منتصف القطعة [BC]
إذن  : (AB) //  (IO) (المستقيم المار من منتصفي ضلعين في  المثلث يوازي حامل الضلع الثالث).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعين في المثلث "

3- نستنتج طبيعة المثلث ABC :
لدينا : (AC) ⊥  (IO) و (AB) //  (IO)
إذن  : (AB) ⊥  (AC) ( إذا كان مستقيمان متوازيين فكل عمودي على أحدهما يكون عموديا على الأخر )
و منه : المثلث ABC قائم الزاوية في النقطة A.
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصيات التوازي و التعامد "

3- خاصية هامة :

   إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .
بتعبير أخر :
   ABC مثلث و O منتصف[BC]
 إذا كان  OA = OB = OC .
فإن : ABC مثلث قائم الزاوية في A

تمرين تطبيقي :

         تمرين :
AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E و C هي مماثلة النقطة A بالنسبة للنقطة E
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث ABC ؟ علل جوابك .
الحــــل :
1–
2 – طبيعة المثلث  ABC  :
     نعلم أن  :  AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E .
    إذن       :   EA = EB   . (أ)
  و نعلم أن  :  C هي مماثلة A بالنسبة للنقطة E .
         إذن  :  E  منتصف [AC] .
 و منه فإن  :  EA = EC  ‚ .(ب)
من  (أ) و(ب)   نستنتج أن  :   EA = EB = EC .
      و بالتالي :
     لدينا في المثلث ABC  :
             E منتصف [AC]
      و
             EA = EB = EC
       إذن   :    ABC مثلث قائم الزاوية في B.

تمارين إضافية للإنجاز الفردي :

إقرأ المزيد

المتطابقة الهامة الثالثة هي متساوية جبرية يتضمن أحد طرفيها جداء صيغتين مترافقتين (a - b )( a + b ) و الطرف الأخر يتضمن فرق مربعين a² - b² و تستعمل لتيسير العمليات الحسابية والنشر والتعميل.
في هذا الدرس تدريب على طريقة النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة رقم 3 مسبوق بتذكير و أمثلة و مرفوق  بتمارين محوسبة و أخرى محلولة أو للإنجاز الفردي :
النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة

معلومات أساسية :

1 - التعرف على المتطابقة :  a - b )( a + b ) = a² - b² )

يمكن أن نبرهن على صحة هذه المتساوية كالتالي :
جبريا  :
سنقوم بنشر الطرف الأيسر من المتساوية (a - b)(a + b) و نتصرف هكذا :
(a - b)(a + b) = a×a + a×b - b×a - b×b
               = a²  + ab - ba - b²
               = a²  + ab - ab - b²
               = a² - b²
 (a - b)(a + b) = a² - b² 
هندسيا :
يمكن أن ننشئ مستطيل طوله a + b و عرضه a - b حيث a و b عددان جذريان و a>b و نحسب مساحة هذا المستطيل بطريقتين مختلفتين :
S =  (a - b)(a + b) + ab + b²                
أو :
S =  a² + b² +  b(a - b)
  =  a² + b² + ab - b²
  =  a² + ab
ومنه :
(a - b)(a + b ) + ab + b² =  a² + ab
(a - b)(a + b )  + b² =  a² 
(a - b)(a + b )  =  a² - b²
 (a - b)(a + b) = a² - b²  
البرمجية التالية تشرح نفس الطريقة بكيفية أخرى : يمكنك إيقاف العرض و تتبع المراحل بإستعمال النقطة P قم بمسك وسحب P نحو الأسفل :
بصفة عامة : مهما يكن a و b عددان جذريان فإن
أمثلة :
(x - 6)(x + 6) = x² - 6² = x² - 36
(2x + 7)(2x - 7) = (2x)² - 7² = 4x² - 49
y² - 81 = y² - 9² = (y - 9)(y + 9)
9 - 16y² = 3² - (4y)² = (3 - 4y)(3 + 4y)

2 - تدريب على المتطابقة :  a - b )( a + b ) = a² - b² )

أتمم ملأ الجدول التالي :

النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b)=a²-b²)

1- النشر بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)

عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من (a - b)(a + b) ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى a² - b² ) نقول أننا نشرنا المتطابقة :
         تمرين : أنشر و بسط مايلي
          (A= (x - 11)(x + 11)                 C = (5x - 1)(5x + 1)             B = (3 - z)(3 + z
الحل :
(C = (3 - z)(z + 3
(B = (5x - 1)(5x + 1
(A= (x - 11)(x + 11
C = 3² - z²
C = 9 - z²
B = (5y)² - 1²
B =  25x² - 1
A = x² - 11²
A = x² - 121
تمارين إضافية :

2- التعميل  بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)

عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من a² - b² ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى (a - b)(a + b) ) نقول أننا عملنا المتطابقة :
         تمرين : عمل مايلي
                    9 - ²(1 -  A= x² - 25                 B = 9y² - 64             C = (2x
الحل :
C = (2x -1)² - 9
B = 9y² - 64
A= x² - 25
C = (2x -1)² - 3²
(C = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3
(2 + C = (2x - 4)(2x
B = (3y)² - 8²
(B =  (3y - 8)(3y + 8
A = x² - 5²
(A =  (x - 5)(x + 5
تمارين إضافية :
إقرأ المزيد

في هذا الدرس سنتعرف على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية:
خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل جانبه لدينا :
ABC مثلث قائم الزاوية في A
I منتصف الوتر [BC]
                                                                               
قم بتحريك النقط A و B و I
ماذا تلاحـــــظ ؟
تظنن خاصية متعلقة بذلك

  
ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و I تبقى المسافات IA و IB و IC متساوية.
مظنـــونة : منتصف و تر مثلث قائم الزلوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوســـه.

2- البرهان على الخاصية :

          تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف الوتر [BC] و ليكن (d) و اسط القطعة [AC].
1. برهن أن (AB) // (d).
2. برهن أن النقطة I تنتمي إلى (d).
3. إستنتج أن IA = IB = IC.
الجــــــواب :
الشـــــكل + المعطيات
1- نبرهن أن  (AB) // (d) :

لدينا المثلث ABC قائم الزاوية في A إذن    : (AB) عمودي على  (AC)        (أ)
لدينا المستقيم (d) و اسط القطعة [AC] إذن : (d)    عمودي على   (AC)     (ب)
من (أ) و (ب) نستنتج أن (AB) // (d). (مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان)

2. نبرهن أن النقطة I تنتمي إلى (d) :

لدينا (d) يوازي (AB) و يمرمن منتصف القطعة  [BC] ( واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).
إذن (d) يقطع [BC] في منتصفها I (المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي للضلع الثاني يقطع الثالث في منتصفه).
ومنه  I تنتمي إلى (d).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني "

3- نستنتج أن IA = IB = IC :

I تنتمي إلى (d) تعني أن :   IA = IC      C            (ج)  ( كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيها )
I منتصف [BC] تعني أن :   IA = IB      B           (د)
من (ج) و (د) نستنتج أن  IA = IB = IC

3- خاصية هامة :

   إذا كان مثلث قائم الزاوية فإن منتصف وتره يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه.
بتعبير أخر :
   إذا كان ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف[BC]
 فإن : IA = IB = IC .

تمرين تطبيقي :

         تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث : ABC = 50°  و M منتصف [BC] .
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث AMB ؟ علل جوابك .
3 – استنتج قياس الزاوية MAB .
الحــــل :
1–
الشــــــكل
2 – طبيعة المثلث  AMB  :
          نعلم أن  :  ABC مثلث قائم الزاوية في A .
   و
          M منتصف الوتر [BC] .
  إذن  :  MA = MB = MC .   أي :  MA = MB .
   و منه فإن المثلث  AMB متساوي الساقين رأسه M .

3 – لنستنتج قياس الزاوية   MAB  :
         نعلم أن :    AMB مثلث متساوي الساقين في E .
             إذن  :    زاويتا القاعدة متقايستين MAB = MBA
       و بما أن :   MBA = 50°    فإن  :     MAB = 50°
تمارين إضافية للإنجاز الفردي :
إقرأ المزيد

 

إتصل بنا

الإسم الكريم البريد الإلكتروني مهم الرسالة مهم