عندما يطلبون منك أن تجد ناتج 98 × 96 فأنت حتما ستستعين بورقة و قلم، و ستجري العملية بالطريقة التي تعلمتها في المدرسة، أو ستستعين بألة حاسبة لإنجاز ذلك.

في هذا الدرس سأريك طريقة مذهلة لحساب جداء الأعداد القريبة من العدد المرجعي (Refrence number). و ستكون قادرا على إعطاء الناتج في أقل من ست ثوان، فقط يلزمك تتبع الخطوات الأربع الواردة في الشرح أسفله، والقيام ببعض التدريبات السريعة حتى تتمكن من إكتساب هذه المهارة.

ماهو العدد المرجعي و ما حاجتنا إليه ؟

      العدد المرجعي هو عدد نستعين به لتسهيل العملية الحسابية و يكون قريب من الأعداد المعطاة و التي يريدون منا حساب جداءها بطريقة أسرع.
مثلا سنستعين ب 100 لإيجاد ناتج 98×96 .
 العدد المرجعي
ملاحظتين :
  • لقد ركزت هنا على استعمال العدد 100 ك Refrence number لأنه إذا أتقنت هذه المسألة أصبح بإمكانك إيجاد ناتج جداء أي عددين قريبين من عدد أخر تعتبره عدد مرجعي و ذلك بمجرد إجراء تعديلات بسيطة.
  • لضرب عدد في 100 يكفي أن تضيف 00 على يمينه ( مثال : 3200 = 100×32 )

أربع خطوات لحساب جداء عددين قريبين من 100 :

لنفرض بأن العدد الأول هو a و العدد الثاني هو b. و نفرض أنهما أقل و يجاوران 100 :

  1. نقوم بحساب الفرق بين 100 و a و نكتب الناتج فوق العدد a و نعيد الكرة بالنسبة للعدد الآخر b. 
  2. نطرح العدد المدون فوق a من العدد b أو العكس، أي نطرح العدد المدون فوق b من العدد a ، في كلتا الحالتين ستحصل على نفس الناتج ثم بعد ذلك إضربه في 100.
  3. نقوم بحساب جداء العددين المدوننين فوق a و b.
  4. ضف ناتج الخطوة الثانية إلى ناتج الخطوة الثالثة، و بذلك تحصل على جداء العددين a و b. 
مثال :  ؟ = 98 × 96
  1. 4 = 96 - 100 و 2 = 98 - 100
  2. 94 = 2 - 96 أو 94 = 4 - 98
  3. 8 = 4 × 2
  4. 9400 = 100 × 94 و 9408 = 8 + 9400
فيكون ناتج الجداء 98 × 96 هو: 9408
أربع خطوات لحساب جداء عددين قريبين من 100
مثال أخر :  ؟ = 97 × 89
  1. 1189 - 100 و 397 - 100
  2. 86 = 3 - 89 أو 86 = 11 - 97
  3. 33 = 3 × 11
  4. 8600 = 100 × 86 و 8633 = 33 + 8600
فيكون ناتج الجداء 97 × 89 هو: 8633
أربع خطوات لحساب جداء عددين قريبين من 100


» تابع القراءة

بعد أن تعرفنا في الدرس الأول من سلسلة دروس الحساب الذهني السريع على طريقة لضرب أي عدد بالأعداد التي تقع بين 12 و 19، دعني أريك في الدرس الثاني طريقة سهلة و ممتعة لضرب الأعداد التي تقع بين 10 و 19 . هذه الطريقة يمكنك إنجازها في ثلاث خطوات بإعتماد 10 كرقم مرجعي في الحساب.
طريقة ذهنية رائعة لحساب جداء الأعداد من 10 إلى 19
سأشرح الخطوات :
الأعداد التي تقع بين 10 و 19 تتألف من منزلتين : وحدات و عشرات.
  1. تجمع رقم الوحدات من أحد العددين مع العدد الآخر كاملاَ.ثم تضرب الناتج في 10.
  2. تضرب رقم الوحدات من العدد الأول في رقم الوحدات من العدد الثاني.
  3. تجمع ناتج الخطوة الأولى مع ناتج الخطوة الثانية فيكون الحاصل هو ناتج الضرب.
مثال :
نفرض أنك تريد حساب : 12×13
  •    أولا     : 15 = 2 + 13 أو 15 = 3 + 12 ثم نضرب الناتج في 10 ( 150 = 10 × 15 )
  •  ثانيا    : 6 = 2 × 3
  •  ثالثا    : 156 = 6 + 150
مثال أخر :
                   ...... = 14×16
  •    أولا     : 20 = 4 + 16 أو 20 = 6 + 14 ثم نضرب الناتج في 10 ( 200 = 10 × 20 )
  •  ثانيا    : 24 = 4 × 6
  •  ثالثا    : 224 = 24 + 200

البرهان الرياضي لهذه الطريقة :

نفرض أن منزلة الوحدات للعدد الأول هي a، و منزلة الوحدات للعدد الثاني هي b، نحصل على عملية الضرب من النوع :
( 10 + a )×( 10 + b )

( 10 +a )( 10 + b ) = 10×10  +  10×b  +  10×a  +  a×b     <=  نقوم بعملية النشر
( 10 + a )( 10 + b ) = 10( 10  +  b  +  a )  +  ab                <=           نعمل ب 10


» تابع القراءة

الموشور القائم هو مجسم يتشكل من قاعدتين متوازيتين و قابلتين للتطابق، وله احرف جانبية متقايسة كل منها يعتبر ارتفاع في الموشور القائم وله أوجه جانبية على شكل مستطيلات وهو أنواع منها : الموشور القائم الذي قاعدته مثلث والموشور القائم قاعدته مستطيل، الموشور القائم قاعدته مربع وهناك موشور قائم قاعدته مضلع خماسي أو سداسي ....إلخ.
الموشور القائم وصفه حجمه و مساحته الجانبية و الكلية

الموشور القائم : و صف + تعريف.

الموشور القائم هو مجسم يتكون من :

  1. وجهين متوازيين قابلين للتطابق هما : قاعدتان الموشور القائم .
  2. أحرف جانبية متقايسة هي : ارتفاع الموشور القائم .
  3. أوجه جانبية و هي على شكل : مستطيلات .

ملاحظات هامة :
  • عدد الأوجه الجانبية لموشور قائم يساوي عدد أضلاع قاعدته .
  • قاعدتا الموشور القائم إما أن تكونا على شكل مثلث أو مربع أو مستطيل أو مضلع رباعي أو مضلع خماسي ..........
  • إذا كانت قاعدتا الموشور القائم عبارة عن مستطيلين فإن هذا الموشور يسمى متوازي المستطيلات.

متوازي المستطيلات.

  • إذا كانت قاعدتا الموشور القائم عبارة عن مربع و كان الإرتفاع مساوي لطول حرف في المربع فإن هذا الموشور يسمى مكعب.

مكعب

حجم الموشور القائم :

حجم الموشور القائم هو الحيز الذي يشغله هذا المجسم في الفضاء و نرمز له بالرمز V. و لحساب حجم أي موشور قائم نضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه ، حيث القاعدة قد تكون عبارة عن مثلث أو مربع أو مستطيل أو خماسي......
حجم الموشور القائم = مساحة قاعدته × ارتفاعه
V  = b ×  h
مثال :
أسفله لدينا موشور قائم قاعدته عبارة عن مثلث قائم الزاوية . جد حجمه .
موشور قائم قاعدته عبارة عن مثلث قائم الزاوية
موشور قائم قاعدته  مثلث قائم الزاوية
الحل : 
حجم الموشور = مساحة قاعدته × ارتفاعه
القاعدة هنا عبارة عن مثلث قائم الزاوية إذن :  b = ( 5 × 12 ) ÷ 2 = 30  => b = 30cm²
أي أن :    V  = b ×  h = 30 × 10 = 300 => V = 300 cm3

مثال أخر :
باب من الخشب ارتفاعه 2 متر ، وعرضه 1 متر ، وسماكة الخشب المصنوع منه = 5 ستنمتر . بفرض أن الباب منتظم وعلى شكل متوازي مستطيلات ، فالمطلوب حساب حجم مادة الخشب التي صنع منها الباب .

الحل : 
متوازي المستطيلات هو موشور قائم بقاعدة مستطيلة الشكل ( مساحة المستطيل= جداء بعيديه )
حجم الباب = ارتفاعه × عرضه × سماكته = حجم الخشب المصنوع منه .
لاحظ هنا أن الأبعاد مختلفة في وحداتها فاثنان منها مقاسان بالمتر والثالث بالسنتمتر ، إذن عند حساب الحجم يجب جعل الوحدات كلها متشابهة .  5cm = 0.05m
V = 2 × 1 × 0.05 = 0.1m3
للتفكير :
 لو كان لدينا قطعة خشب على شكل متوازي مستطيلات أبعادها 2م × 1م × 1م ، فكم باباً من النوع المذكور في السؤال نستطيع أن نعمل منها بفرض أنه لن يضيع منها أي شيء أثناء عمليات القص والتشكيل .

المساحة الجانبية و الكلية للموشور القائم

للموشور القائم كما عرفنا قاعدتان وعدد من الأوجه يعتمد على شكل القاعدة ، فالموشورالقائم الثلاثي له ثلاثة أوجه مستطيلة (بالاضافة إلى قاعدتيه) ومتوازي المستطيلات له أربعة أوجه مستطيلة (بالاضافة إلى قاعدتيه وهما مستطيلتان ) والموشور القائم السداسي له ستة أوجه مستطيلة ....... إلخ.
كثيراً ما يطلب منا حساب مساحة هذه الأوجه مع أو بدون القاعدتين، ولذلك سنميز بين حالتين :
      قاعدة:
  • مساحة سطح الموشور القائم الجانبية : هي مجموع مساحة أوجه الموشورالمستطيلة دون القاعدتين .
  • مساحة سطح الموشور القائم الكلية : هي مجموع مساحة أوجه الموشور المستطيلة + مساحة القاعدتين .
المثال التالي يوضح ذلك :
مثال  : علبة من الورق المقوى على شكل موشور ثلاثي قائم أبعاده كما في الشكل :
AB = 3cm  ;;    AC = 4cm   ;;     BC= 5cm     ;;   BB'= 7cm
علبة من الورق المقوى على شكل موشور ثلاثي قائم
المطلوب :
أ‌ -  حساب مساحة الموشورالجانبية .
ب‌- حساب مساحة سطح الموشور الكلية .

الحـــل :
  أ -  جوانب هذا الموشور عبارة عن ثلاث مستطيلات :

  • المستطيل'ABB'A ومساحته هي = الطول × العرض =>  S(ABB'A') = 3 × 7 = 21 cm² 
  • المستطيل'AِCC'A ومساحته هي = الطول × العرض => S(AِCC'A') = 4 × 7 = 28 cm² .
  • المستطيل BB'C'C ومساحته هي = الطول × العرض =>  S(BB'C'C) = 5 × 7 = 35 cm² 
إذن المساحة الجانبية لهذا الموشور القائم تكون هي مجموع المساحات الجزئية للجوانب و نكتب :
 84  = 21 + 28 + 35 = (SS(ABB'A') + S(AِCC'A')  + S(BB'C'C
S = 84cm² 

ويمكن اختصار هذه الطريقة حيث يمكن اعتبار السطح الجانبي للموشور تحول إلى مستطيل طوله يساوي محيط قاعدة الموشور= 4 + 3 + 5 = 12سم وعرضه هو ارتفاع الموشور = 7 سم ،
حيث يمكن حساب المساحة الجانبية = 12 × 7 = 84 سم2 .
وتصبح مساحة الموشور القائم الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع الموشور .

 ب‌ - مساحة السطح الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين .
إن قاعدة المنشور هي عبارة عن مثلث قائم الزاوية و بالتالي :
S(ABC) = ( 3 × 4 ) ÷ 2 = 6cm²
أيضا لدينا :
S(A'B'C') = ( 3 × 4 ) ÷ 2 = 6cm²
إذن المساحة الكلية للموشور :
96 = 84 + 6 + 6 = S' = S(ABC) + S(A'B'C') + S
S' = 96cm²
وعموماً المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين = ( محيط القاعدة × الارتفاع ) + ( ضعف مساحة القاعدة ).
» تابع القراءة

في هذا الدرس ستتعلم طريقة لضرب أي عدد كان بالأعداد التي تقع بين 12 و 19 ذهنيا و بسرعة لم تتخيلها قط، بعد القليل من التدريب  و المثابرة سوف يتحسن مستواك و ستكون قادرا على إتقان المهارة و تملكها. سنعطيك الوسيلة الحسابية التي ستبهر بها أصدقائك و حتى أساتذك، لذا دعني أريك كيف يتم ذلك :
طريقة لضرب أي عدد بالأعداد التي تقع بين 12 و 19 ذهنيا
نفرض بأن العدد الذي تريد ضربه بهذه الأعداد هو , والعدد الذي يقع بين (12) و(19) هو b .

  1. تقوم بوضع الخانة الأولى من العدد a كأول خانة من الناتج.
  2. تقوم بضرب الخانة الأولى من العدد بخانة الوحدات من العدد , وتجمع الناتج مع الخانة الثانية من العدد a ,وتكون بذلك قد حصلت على الخانة الثانية من الناتج.
  3. تضرب الخانة الثانية من العدد بخانة الوحدات من العدد b , وتجمع الناتج مع الخانة الثالثة من العدد a , وتكون بذلك قد حصلت على الخانة الثالثة من الناتج
  4. تستمر بهذه الطريقة حتى تصل إلى الخانة الأخيرة من العدد حيث تقوم بضرب الخانة الأخيرة من العدد a مع خانة الوحدات من العدد  , وتضع الجواب في الخانة الأخيرة من الناتج, وتكون بذلك قد حصلت على الناتج كاملاً.

مثال :

نريد ضرب 1234 ب 12.
                                        .....= 12 × 1234
  •  1  هو الخانة الأولى من الناتج. نكتب : ....1
  •  4 = 2 + ( 2 × 1) و هي الخانة الثانية من الناتج. نكتب : ...14
  •  7 = 3 + ( 2 × 2) و هي الخانة الثالثة من الناتج. نكتب : ..147
  • 10 = 4 + ( 2 × 3) نكتب (0) و نضيف 1 إلى 7، 0 هي الخانة الثالثة من الناتج. نكتب : .1480
  • 8 =  ( 2 × 4) و هي الخانة الأخيرة من الناتج. نكتب : 14808

مثال أخر :

                                        .....= 14 × 1234
  •  1  هو الخانة الأولى من الناتج. نكتب : ....1
  •  6 = 2 + ( 4 × 1) و هي الخانة الثانية من الناتج. نكتب : ...16
  •  11 = 3 + ( 4 × 2) نكتب (1) و نضيف 1 إلى 6، 1 هي الخانة الثالثة من الناتج. نكتب : ..171
  • 16 = 4 + ( 4 × 3) نكتب (6) و نضيف 1 إلى 1، 6 هي الخانة الرابعة من الناتج. نكتب : .1726
  • 16 =   4 × 4  نكتب (6) و نضيف 1 إلى 6، 6 هي الخانة الأخيرة من الناتج. نكتب : 17276

» تابع القراءة

في الرياضيات، المعين هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متتابعين متقايسين و فيه كل زاويتين متقابلتين أيضا متقايستين . و يمكن تعريفه على أنه متوازي اضلاع فيه ضلعان متجاوران متساويان.

في هذا التدريب نذكر بأهم خاصيات المعين و التي سنستعمل إحداها في البرهان على أن رباعي (أنظر نص التمرين ) هو معين.
 تدريب على البرهان حول المعين
ماهو البرهان و ماهي خطواته ؟

عندما يقال لك برهن أن ... فهم يقصدون أن تقوم بعمل حل التمرين أو السؤال وفق طريقة منطقية في الجواب مستخدما خاصيات الهندسة و الحساب دون اللجوء الى الادوات الهندسية فى القياس 
خطوات تحرير البرهان :
  1. قراءة نص التمرين جيدا
  2. تحديد المعلومات المتاحة بالتمرين( إستخراج المعطيات).
  3. إنشاء شكل مناسب و دقيق.
  4. تحديد المراد ايجاده او اثبات صحتة ( المطلوب )
  5. وضع مسودة خطاطة باستخدام المعطيات للوصول الى المطلوب من خلال ترتيب الخطوات لايجاد الحل
  6. كتابة البرهان بإحترام ترتيب الخطوات مستعملا جملا مفيدة (أحيانا نستعمل الرموز). 

تذكير حول خاصيات المعين

خاصيات المعين :

  1. كل ضلعين متقابلين متوازيان. 
  2. كل ضلعين متقابلين متساويان. 
  3. كل الأضلاع متساوية.
  4. كل زاويتين متقابلتين متساويتان.
  5. القطران مُتعامدان و متقاطعان في المنتصف.
  6. القطران ينصفان الزوايا المتقابلة.

    متى يكون شكل رباعي معين !!

          خصائص عكسية :
    1. شكل رباعي فيه كل ضلعين متتابعين متقايسيين .
    2. متوازي اضلاع فيه كل ضلعين متتابعين متقايسيين
    3. متوازي اضلاع ذو قطرين متعامدين.

    تدريب : تمرين تفاعلي

             نص التمرين :  (تمرين رقم 17 صفحة 228 كتاب المفيد في الرياضيات)
    ABCD مستطيل مركزه النقطة O .
    I منتصف [DC] و F مماثلة النقطة O بالنسبة للنقطة I.
    1. أنشئ الشكل
    2. برهن أن DOCF معين.
    3. إستنتج أن :  (OI) عمودي على (DC)
    1). الشكل + المعطيات
    2). المطلوب : نبرهن أن DOCF معين
    خطاطة البرهان :
    خطاطة البرهان
    خطاطة البرهان
    البرهان :

    3).  نستنتج أن :  (OI) عمودي على (DC)
    بمأن DOCF معين فإن قطراه متعامدان أي أن : (OI) عمودي على (DC)

    » تابع القراءة

    في الهندسة الرياضية، المربع هو رباعي جميع أضلاعه متساوية في الطول ومتعامدة تشكل أربع زوايا قائمة. و يمكن أن نعرفه أيضا على أنه هو متوازي أضلاع زواياه الأربعه قوائم وفيه ضلعان متتابعان متقايسان.

    في هذا التدريب نذكر بأهم خاصيات المربع و التي سنستعمل إحداها في البرهان على أن رباعي (أنظر نص التمرين ) هو مربع.
    ماهو البرهان و ماهي خطواته ؟

    عندما يقال لك برهن أن ... فهم يقصدون أن تقوم بعمل حل التمرين أو السؤال وفق طريقة منطقية في الجواب مستخدما خاصيات الهندسة و الحساب دون اللجوء الى الادوات الهندسية فى القياس 
    خطوات تحرير البرهان :
    1. قراءة نص التمرين جيدا
    2. تحديد المعلومات المتاحة بالتمرين( إستخراج المعطيات).
    3. إنشاء شكل مناسب و دقيق.
    4. تحديد المراد ايجاده او اثبات صحتة ( المطلوب )
    5. وضع مسودة خطاطة باستخدام المعطيات للوصول الى المطلوب من خلال ترتيب الخطوات لايجاد الحل
    6. كتابة البرهان بإحترام ترتيب الخطوات مستعملا جملا مفيدة (أحيانا نستعمل الرموز). 

    تذكير حول خاصيات المربع

    خاصيات المربع :

    1. كل ضلعين متقابلين متوازيان. 
    2. كل ضلعين متقابلين متساويان. 
    3. كل الأضلاع متساوية.
    4. كل زاويتين متقابلتين متساويتان.
    5. كل الزوايا متساوية وقائمة.
    6. القطران مُتساويان ، مُتعامدان وينصفان احدهما الآخر.

      متى يكون شكل رباعي مربع !!

            خصائص عكسية :
      1. شكل رباعي فيه 3 زوايا قائمة  و ضلعان متتابعان هو مربع .
      2. متوازي اضلاع ذو زاوية قائمة واحدة و ضلعان متتابعان هو مربع
      3. متوازي اضلاع ذو قطرين متعامدين و متساويين لبعضهما البعض هو مربع.

      تدريب : تمرين تفاعلي

               نص التمرين :  (تمرين رقم 11 صفحة 227 كتاب المفيد في الرياضيات)
      ABC مثلث قائم الزاوية و متساوي الساقين رأسه A.
      I منتصف [BC]
      D مماثلة A بالنسبة للنقطة I.
      1. أنشئ الشكل
      2. برهن أن ABDC مربع.
      3. حدد طبيعة المثلث AIB
      1). الشكل + المعطيات
      2). المطلوب : نبرهن أن ABDC مربع
      خطاطة البرهان :
      خطاطة البرهان
      خطاطة البرهان
      البرهان :

      3).  نحدد طبيعة المثلث AIB
      بمأن ABDC مربع فإن قطراه متقايسان و متعامدان أي أن :
      AD = BC و BIA = 90° أي أن :
      2 ÷ AD ÷ 2  = BC و BIA = 90°  أي أن :
      AI = BI و BIA = 90° أي أن :
      AIB متساوي الساقين و قائم الزاوية في A
      » تابع القراءة

      في الرياضيات نعرف المستطيل على أنه متوازي الأضلاع له زاوية قائمة، و بالتالي فهو يحتفظ بجميع خاصيات متوازي الأضلاع مضاف إليها خاصية قطراه المتقايسين و التي تميزه عن متوازي الأضلاع.

      في هذا التدريب نذكر بأهم خاصيات المستطيل و التي سنستعمل إحداها في البرهان على أن رباعي (أنظر نص التمرين ) هو مستطيل.
      ماهو البرهان و ماهي خطواته ؟

      عندما يقال لك برهن أن ... فهم يقصدون أن تقوم بعمل حل التمرين أو السؤال وفق طريقة منطقية في الجواب مستخدما خاصيات الهندسة و الحساب دون اللجوء الى الادوات الهندسية فى القياس 
      خطوات تحرير البرهان :
      1. قراءة نص التمرين جيدا
      2. تحديد المعلومات المتاحة بالتمرين( إستخراج المعطيات).
      3. إنشاء شكل مناسب و دقيق.
      4. تحديد المراد ايجاده او اثبات صحتة ( المطلوب )
      5. وضع مسودة خطاطة باستخدام المعطيات للوصول الى المطلوب من خلال ترتيب الخطوات لايجاد الحل
      6. كتابة البرهان بإحترام ترتيب الخطوات مستعملا جملا مفيدة (أحيانا نستعمل الرموز). 

      تذكير حول خاصيات المستطيل.

      خاصيات المستطيل :


      1. كل ضلعين متقابلين متوازيين:  (AD) // (BC) و (AB) // (DC) .
      2. كل ضلعين متقابلين متقايسين : AB = DC  و  AD = BC .
      3. مقدار كل زاوية من زوايا المستطيل هو °90 : °A = B = C = D = 90 .
      4. القطران متقايسان :AC = BD وايضاً ينصفان بعضهما البعض AO = OC و BO = OD.

      متى يكون شكل رباعي مستطيل :

            خصائص عكسية :
      1. شكل رباعي فيه 3 زوايا قائمة هو مستطيل .
      2. متوازي اضلاع ذو زاوية قائمة واحدة هو مستطيل .
      3. متوازي اضلاع ذو قطرين متساويين لبعضهما البعض هو مستطيل .

      تدريب : تمرين تفاعلي

               نص التمرين :
      AOB مثلث متساوي الساقين رأسه O حيث AB = 6cm
      النقطتان C و D هما على التوالي مماثلتي A و B بالنسبة للنقطة O.
      1. أنشئ الشكل
      2. برهن أن ABCD مستطيل.
      3. إستنتج أن :  CD = 6cm
      1). الشكل + المعطيات
      2).المطلوب : نبرهن أن ABCD مستطيل
      خطاطة البرهان :
      البرهان :

      3)الإستنتاج :
      بمأن ABCD مستطيل فإن كل ضلعين متقابلين فيه متقايسين، أي أن : AB = CD = 6cm
      » تابع القراءة