قد يبدو حساب الجداء 23456 × 12345 يدويا و بالطريقة الإعتيادية معقدا و مملا، لكن دعوني أريكم طريقة أخرى لحساب مثل هذه الجداءات و التي تتضمن أعداد كبيرة، قد تبدو لكم هذه الطريقة  معقدة قليلا ولكن عندما تفهموها فصدقوني سوف تعتمدون عليها طوال حياتكم لشدة سهولتها فركزوا قليلا معي في الخطوات و يفٌضل أن تُؤدّوا كل الخطوات على ورقة حتى  يتٌضح لكم الأمر.
الخــــــطوة رقم 1 :
إذا كان للعددين المضروبين عدد الخانات ذاته لا نغير فيهما شيئا وننتقل إلى الخطوة الثانية، أما إذا كان عدد خانات العدد الأول أكبر من عدد خانات العدد الثاني عندها نقوم بإضافة أصفار إلى يسار العدد الثاني حتى يتساوى عدد الخانات للعددين.الخانة الأولى من العدد الأول مع الخانة الأولى من العدد الثاني تسمى الثنائية الأولى، والخانة الثانية من العدد الأول مع الخانة الثانية من العدد الثاني تسمى الثنائية الثانية وهكذا......
ملاحظة: عندما نضيف أصفاراً لأحد العددين حتى يتساوى عدد الخانات للعددين نعتبر الثنائية الأولى مكونة من الخانة الأولى من العدد الأول مع الصفر الذي قابلها من العدد الثاني كما هو موضح أسفله :
الخــــــطوة رقم 2 :
نقوم في بداية الحل بأخذ الثنائية الأولى ونكون بذلك قد حصلنا على عددين كل منهما مكون من خانة واحدة، وبعد ذلك نقوم بإيجاد ناتج جداء الوحدات من العدد العلوي مع الوحدات من العدد السفلي و يكٌون حاصل الجداء هو الخانة الأولى من الناتج النهائي للجداء 23456 × 12345 و لنسميه P مثلا.
...P = 2   
الخـــطوة رقم 3 :
بعد ذلك نأخذ الثنائية الأولى مع الثانية ونكون قد حصلنا على عددين كل منهما مكون من منزلتين فنقوم بإ يجاد ناتج جداء خانة العشرات من العدد العلوي مع خانة الوحدات من العدد السفلي زائداً جداء خانة الوحدات من العدد العلوي مع خانة العشرات من العدد السفلي ونكون بذلك قد حصلنا على الخانة الثانيةٌ من الناتج.
....P = 27
الخـــطوة رقم 4 :
بعد ذلك نأخذ الثنائيةٌ الأولى مع الثانية و الثالثة وبذلك نحصل على عددين كل منهما مكون من ثلاث منازل فنقوم بإ يجاد ناتج جداء خانة المئات من العدد العلوي مع خانة الوحدات من العدد السفلي زائداً جداء خانة الوحدات من العدد العلوي مع خانة المئات من العدد السفلي زائداً جداء خانة العشرات من العدد العلوي مع خانة العشرات من العدد السفلي ونكون بذلك قد حصلنا على الخانة الثالثة من الناتج.
....P = 2716   =>  P = 286
ملاحظـــة : لقد كان ناتج هذه الخطوة هو 16 لهذا كتبت 6 و إحتفظت ب 1 على أساس أن أضيفه إلى المنزلة السابقة أي 7+1=8.
     P = 286    
الخـــطوة رقم 5 :
ونتابع على هذا المنوال  إضافة ثنائيةٌ كل مرة حتى ننته من كافة الثنائيات ونكون بذلك قد حصلنا على نصف الناتج.
...P = 28630   =>  P = 2890
....P = 289050   =>  P = 28950
الخـــطوة رقم 6 :
الأن و بعد أن أنتهينا من حساب جميع الثنائيات نكون قد و صلنا إلى منتصف الطريق أي اننا و حصلنا على نصف الناتج.
بعد أن نقوم بإضافة كل الثنائياٌت نبدأ بعملية معاكسة حيث نقوم بإلغاء ثنائية من اليسار كل مرة مع الإبقاء على بقية الثنائيات ونكون
بذلك قد حصلنا على عددين كل منهما مكون من أربع منازل (إذا كنا نضرب عدداً من خمسة منازل مع عدد آخر كما في هذا المثال أما بالشكل العام فنكون قد حصلنا على عددين كل منهما مكون من x -1  منزلة على فرض أن x  يدل على عدد خانات العدد الأكبر بين العددين المضروبين)،فنقوم بإيجاد ناتج جداء خانة الألوف من العدد العلوي مع خانة الوحدات من العدد السفلي زائداً جداء خانة الوحدات من العدد العلوي مع خانة الألوف من العدد السفلي زائداً جداء خانة المئات من العدد العلوي مع خانة العشرات من العدد السفلي زائداً جداء خانة العشرات من العدد العلوي مع خانة المئات من العدد السفلي ونكون بذلك قد حصلنا على الخانة السادسة من الناتج.
...P = 2895058   =>  P = 289558
نتابع بنفس المنهجية (نحذف ثنائية كل مرة من اليسار) حتى نصل إلى أخر ثنائية و بذلك نكون قد حصلنا على الخانة الأخيرة من الناتج المرغوب.
...P = 28955858   =>  P = 2895638
...P = 289563849   =>  P = 28956429
P = 2895642930   =>  P = 289564320
قد تبدو الطريقة معقدة و طويلة إلا أنها بسيطة وغاية في السهولة خصوصا إذا كانت الأعداد مؤلفة من منازل أقل .أتمنى أن تكون الرسومات قد ساهمت في إيصال الفكرة لكم وآمل أن تكونوا قد استوعبتم الفكرة.
ناتـــــج العملية
ملاحظـــة : كما ذكرت سابقاً بالنسبة إلى عدد الخانات للعددين المضروبين فلا يوجد أي مشكلة لو أن لأحد العددين عدد خانات أكثر من الثاني ، على العكس فإن ذلك سوف يجعل الأمر أكثرسهولةً.
تـــــدريب :
إقرأ المزيد

في هذا الموضوع نتعرف على طريقة حساب جداء عددين جذريين من خلال القاعدة التي تنظم ذلك، و نتعرف على الخاصيات المستعملة في ضرب الأعداد الجذرية.  الموضوع يتضمن مجموعة من الأمثلة التي تشرح تطبيق هذه القواعد و سلسلة من التمارين للإنجاز الفردي :
ضرب الأعداد الجذرية

جداء عددين جريين :

جداء عددين جذريين هو عدد جذري بسطه هو جداء البسطين ومقامه هو جداء المقامين
لحساب جداء عددين جذريين تأكـــد من أنك ستقوم بثلاث مراحل كالتالي :
  1. تضرب البسط × البسط
  2. تضرب المقام × المقام
  3. تختزل إن أمكن ذلك.

قاعــدة 1 :

         قاعدة :           إذا كان a/b و c/d  عددين جذريين فإن :

قاعــدة 2 :

         قاعدة :               a/b و c/d عددان جذريان
* إذا كان ل a/b و c/d  نفس الإشارة فإن جداءهما يكون موجبا.
* إذا كان ل a/b و c/d  إشارتين مختلفتين فإن جداءهما يكون سالبا.
أمثلـــة :
أمثلـــة محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك أن تختار عددين جذريين من خلال تحديد قيم بسطيهما و مقاميهما، قم بمسك و تحريك المؤشر على المزلقة و سنتكفل بإعطاءك ناتج ضرب العددين الجذريين مع طريقة الإنجاز:

حالات خاصة :

1) جداء عدد جذري في 1:
         قاعدة :
أمثلـــة :

2) جداء عدد جذري في 0:
         قاعدة :
أمثلـــة :

3) إضافــــي :
         قاعدة :
أمثلـــة :

جداء عدة أعداد جذرية :

لحساب جداء عدة أعداد جذرية القواعد السابقة تبقى صالحة حيث أنه سيكون لدينا أكثر من بسطين و أكثر من مقامين، في هذه الحالة يمكن أن نضرب البسوط فيما بينها و المقامات فيما بينها، كما يمكننا الإستعانة في الحساب بالخاصيات التالية :
         قاعدة :               x و y و z أعـــداد جذريــــة :
* جداء عدة أعداد جذرية لا يتغير إذا غيرنا ترتيب عوامله : x × y = y × x
* جداء عدة اعداد جذرية لا يتغير إذا عوضنا بعض عوامله بجدائها : (x × y) × z = x × (y × z) 
أمثلـــة :

تطبيقات + إختبار معلومات :

إقرأ المزيد

تعرفنا في درس سابق على قوه عدد عشري نسبي ذات الأس الموجب و تناولنا الخصائص المتعلقة بحساب جداء و خارج قوتين، و قوة قوة للأعداد العشرية النسبية. في هذا الدرس نعمم التعريف على الأعداد الجدرية و نتطرق إلى مفهوم قوة عدد جذري ذات الأس السالب و بديهية الأسس السالبة :
قوة عدد جذري

1) قوة عدد جذري ذات الأس الموجب

في الرياضيات الضرب المتكرر أو الرفع إلى قوة هو تكرار ضرب العدد في نفسه عدة مرات مثل : 3×3×3 أو 1×1×1×1×1 ولكنها يتم اختصار هذه العملية في صيغة بسيطة فمثلا : 3= 3×3×3×3، 3تسمى القوة الرابعة للعدد ثلاثة وتقرأ "3 أس 4" ويسمى العدد 3 الأساس و 4 الأس.


الأساس :
وهو العدد الذي يتم تكراره في عملية الضرب المتكرر, فعلى سبيل المثال 3أساسها يساوى 3 لأن الثلاثة هي العدد الذي تم تكريره.
الأس :
وهي قوة العدد أو عدد مرات تكراره فمثلا 6أسها يساوى 3 لأن الأساس الذي يساوى 6 قد تم تكريرها ثلاثة مرات.
ملحوظات :
  • تُقرأ العملية 8كما يلي : 8 أس 9 أو القوة التاسعة للعدد 8.
  • لا داعى لكتابة الواحد إذا كان الواحد أسا لعدد ما لأن أي عدد مرفوع له أس واحد يساوي نفس العدد. على سبيل المثال 8 = 8
  •  الضرب في 1 لا يغير من قيمة الناتج : a × 1 = a كيفما كان العدد a.
             بصفة عامة : ليكن a عددا جذريا و عدد صحيح طبيعي.
* إذا كان n > 1 فإن :
* إذا كان n = 1 فإن : a = a1
* إذا كان n = 0 و a مخالف للصفر فإن : 1 = a0
أمثلة محوسبة :
قم بتغيير الأساس من خلال تغيير قيم البسط والمقام ، قم بتغيير كذلك قيم الأس و سنتكفل بإعطائك ناتج القوة :

2) قوة عدد جذري ذات الأس السالب :

الأن و بعد أن تعرفنا على قوة عدد جذري ذات الأساس الموجب، و على طريقة حساب هذه القوة بإعتماد الضرب المتكرر للأساس في نفسه عدد مرات الأس .
كيف يمكننا إذن حساب قوة ذات أس سالبا مثلا " 5 أس 3- " ؟

أنت تعلم أنه لقسمة عدد على الأخر نضرب الأول في مقلوب الثاني :
      a ÷ b = a × 1/b     
هذا يقودنا إلى التفكير سريعا انه لحساب قوة ذات أساس سالب نقسم 1 على الأساس عدد مرات الأس فمثلا إذا كان أساس قوة هو 8 و وكان أسها هو 1- فإن :
 8-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125                            
8-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/82 = 1/64 = 0,015625
لاحــــظ أنه يمكننا إتباع طريقة منطقية في حساب قوة العدد 5 سواء كان الأس سالبا أو موجبا :
قوة العدد 5 :
.. إلخ..                         
525 × 5 × 125
515 × 15
5011
5-15 ÷ 10,2
5-2 5 ÷ 5 ÷ 10,04
.. إلخ..
تعميم :
بصفة عامة : ليكن a و x/y عددان جذريان غير منعدمين و n عدد صحيح طبيعي.
أمثلــــة :
الأس السالب

بإستعمال المقلوب و الأس الموجب

القيمة العددية
4-2
=
42 / 1
=
1/16 = 0,0625
10-3
=
103 / 1
=
1/1000 = 0,001
المزيد من الشرح لهذه البدبهية على الفيدو التالي :
إقرأ المزيد

في درس سابق تعرفنا على مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم و تعرفنا على الخاصيات الأساسية لتماثل المحوري. في هذا التدريب سنستغل إثنتين في البرهنة على إستقامية النقط و إثبات صحة متساوية من خلال حل مسألة (أنظر نص المسألة فيما يأتي )  :
ماهو البرهان و ماهي خطواته ؟

عندما يقال لك برهن أن ... فهم يقصدون أن تقوم بعمل حل التمرين أو السؤال وفق طريقة منطقية في الجواب مستخدما خاصيات الهندسة و الحساب دون اللجوء الى الادوات الهندسية فى القياس 
خطوات تحرير البرهان :
  1. قراءة نص المسألة جيدا.
  2. تحديد المعلومات المتاحة بالمسألة ( إستخراج المعطيات).
  3. إنشاء شكل مناسب و دقيق.
  4. تحديد المراد ايجاده او اثبات صحتة ( المطلوب )
  5. وضع مسودة خطاطة باستخدام المعطيات للوصول الى المطلوب من خلال ترتيب الخطوات لايجاد الحل
  6. صياغة و تحرير البرهان بإحترام ترتيب الخطوات مستعملا جملا مفيدة (أحيانا نستعمل الرموز). 

خاصية الحفاظ على المسافة - خاصية الحفاظ على إستقامية النقط

'A و'B و'C هي مماثلات A وB وC على التوالي بالنسبة لمستقيم (p)
  1. الثماثل المحوري يحافظ على إستقامية النقط : إذا كانت النقط A وB وC نقط مستقيمية فإن 'A و'B و'C أيضا مستقيمية. 
  2. الثماثل المحوري يحافظ على المسافة : 'AB = A'B  و 'BC = B'C

تدريب : أسئلة تفاعليـــــة

         نص المسألة :  (تمرين رقم 41 صفحة 123 كتاب المسار في الرياضيات)
[AB] قطعة منتصفها M . و (d) مستقيم غير عمودي عليها.
E مماثلة النقطة A بالنسبة للمستقيم  (d) و F مماثلة النقطة B بالنسبة للمستقيم  (d).
  1. أنشئ الشكل
  2. برهن أن النقط E وM وF مستقيمية.
  3. أثبت أن M منتصف القطعة [EF]
1). الشكل + المعطيات + مسودة البرهان :
برهان حول التماتل المحوري
خطاطة البرهان
برهان حول التماتل المحوري
خطاطـــــة البرهان
البرهان :


إقرأ المزيد

في ما يلي أربعة تمارين محلولة حول جمع و ضرب الأعداد الجذرية المطلوب منك فيها توظيف مهارات  الإختزال و توحيد المقامات و تطبيق قواعد الجمع و الطرح على الأعداد الجذرية .
تمارين و حلول حول جمع و ضرب الكسور

إختبار معلومات + تمارين محلولة

         تمرين 1 : أحسب مايلي :

حل التمرين 1 :
           تمرين 2أحسب مايلي معطيا الناتج على شكل عدد جذري مختزل إختزالا نهائيا

حل التمرين 2 :
         تمرين 3تمرين رقم 24 صفحة 38 كتاب المسار السنة الثانية إعدادي
A وB وC ثلاث نقط من المستوى حيث أن :
أتبث أن النقط A وB وC مستقيمية.
حل التمرين 3 :
خاصية :
A و B و C ثلاث نقط مختلفــة
إذا كانت A تنتمي إلى القطعة [BC] فإن : BC = AC + AB
إذا كانت A لا تنتمي إلى القطعة [BC] فإن : BC < AC + AB
يمكنك مراجعة هذه الخاصية في هذه الصفحة : المتفاوتة المثلثية.
من خلال الخاصية السابقة و كي نتبث أن النقط A وB وC مستقيمية يكفي أن نبين أن BC = AB + AC.
ملاحظة : A تنتمي إلى القطعة [BC] تعني أن النقط A وB وC مستقيمية.
إذن النقط A وB وC مستقيمية.
         تمرين 4 : 
a و b عددان عشريان نسبيان حيث أن
حل التمرين 4 :

إقرأ المزيد

كل عدد يكتب على شكل a/b حيث a وb عددان صحيحان نسبيان وb غير منعدم يسمى عددا جذريا. في هذا الدرس نتعرف على قواعد جمع و طرح الأعداد الجذرية و نتناول الخاصيات المساعدة في حساب مجموع أو فرق هذه الأعداد :

ماهو العدد الجذري ؟

         تعريف :
العدد الجذري هو خارج عدد صحيح نسبي a على عدد صحيح نسبي غير منعدم b و يكتب  : a/b
أمثلــــة :
ملاحظات هامة :
نعتبر العدد الجذري  a/b
  • a  يسمى البسط وb يسمى المقام .
  • يكون عدد جذري a/b موجبا إذا كان للعددين a  و b  نفس الإشارة .
  • يكون عدد جذري a/b سالبا  إذا كان للعددين a  و b إشارتين مختلفتين.

كيف نحسب مجموع وفرق عددين جذريين ؟

من خلال تعريف العدد الجدري أعلاه يمكن أن نصادف في جمع و طرح الأعداد الجذرية ثلات حالات : أن يكون العددان بذات المقام الموحد أو أن يكون مقام أحدهما مضاعفا للأخر أو أن يكونا بمقامين مختلفين :

a)  إذا كان للعددين الجذريين نفس المقام.

لحساب مجموع عددين جذريين لهما نفس المقام نقوم بالخطوات التالية :
  1. نحتفظ بنفس المقام
  2. نجمع البسطين
  3. نختزل إن أمكن ذلك
         قاعدة 1

مثال أخر وشروحات على الفيديو التالي :

b)  إذا كان مقام أحد العددين الجذريين مضاعفا لمقام الأخر.

في هذه الحالة نقوم بما يلي :
  1. نضرب (أو نقسم) بسط و مقام أحد العددين الجدريين في عدد صحيح نسبي غير منعدم للحصول على مقام موحد.
  2. نجمع بإستعمال القاعدة رقم 1.
  3. نختزل إن أمكن ذلك
         قاعدة 2 :
إذا كان a/b و c/d عددان جذريان حيث d مضاعف ل b فإنه يوجد عدد صحيح نسبي m غير منعدم حيث :

c)  إذا كان للعددين الجذريين مقامين مختلفين.

في هذه الحالة نقوم بما يلي :
  1. نوحد المقامات
  2. نجمع بإستعمال القاعدة رقم 1.
  3. نختزل إن أمكن ذلك
         قاعدة 3 :
a/b و c/d عددان جذريان  :


أمثلة محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك إختيار الأعداد  الجذرية التي تريد و سنتكفل بإعطاءك الحلول الكاملة :

تمارين تطبيقية للإنجاز الفردي :

خاصية :
a/b وc/d وe/f  أعداد جذرية لدينا :

إقرأ المزيد