تعرفنا في درس سابق على قوه عدد عشري نسبي ذات الأس الموجب و تناولنا الخصائص المتعلقة بحساب جداء و خارج قوتين، و قوة قوة للأعداد العشرية النسبية. في هذا الدرس نعمم التعريف على الأعداد الجدرية و نتطرق إلى مفهوم قوة عدد جذري ذات الأس السالب و بديهية الأسس السالبة :
قوة عدد جذري

1) قوة عدد جذري ذات الأس الموجب

في الرياضيات الضرب المتكرر أو الرفع إلى قوة هو تكرار ضرب العدد في نفسه عدة مرات مثل : 3×3×3 أو 1×1×1×1×1 ولكنها يتم اختصار هذه العملية في صيغة بسيطة فمثلا : 3= 3×3×3×3، 3تسمى القوة الرابعة للعدد ثلاثة وتقرأ "3 أس 4" ويسمى العدد 3 الأساس و 4 الأس.


الأساس :
وهو العدد الذي يتم تكراره في عملية الضرب المتكرر, فعلى سبيل المثال 3أساسها يساوى 3 لأن الثلاثة هي العدد الذي تم تكريره.
الأس :
وهي قوة العدد أو عدد مرات تكراره فمثلا 6أسها يساوى 3 لأن الأساس الذي يساوى 6 قد تم تكريرها ثلاثة مرات.
ملحوظات :
  • تُقرأ العملية 8كما يلي : 8 أس 9 أو القوة التاسعة للعدد 8.
  • لا داعى لكتابة الواحد إذا كان الواحد أسا لعدد ما لأن أي عدد مرفوع له أس واحد يساوي نفس العدد. على سبيل المثال 8 = 8
  •  الضرب في 1 لا يغير من قيمة الناتج : a × 1 = a كيفما كان العدد a.
             بصفة عامة : ليكن a عددا جذريا و عدد صحيح طبيعي.
* إذا كان n > 1 فإن :
* إذا كان n = 1 فإن : a = a1
* إذا كان n = 0 و a مخالف للصفر فإن : 1 = a0
أمثلة محوسبة :
قم بتغيير الأساس من خلال تغيير قيم البسط والمقام ، قم بتغيير كذلك قيم الأس و سنتكفل بإعطائك ناتج القوة :

2) قوة عدد جذري ذات الأس السالب :

الأن و بعد أن تعرفنا على قوة عدد جذري ذات الأساس الموجب، و على طريقة حساب هذه القوة بإعتماد الضرب المتكرر للأساس في نفسه عدد مرات الأس .
كيف يمكننا إذن حساب قوة ذات أس سالبا مثلا " 5 أس 3- " ؟

أنت تعلم أنه لقسمة عدد على الأخر نضرب الأول في مقلوب الثاني :
      a ÷ b = a × 1/b     
هذا يقودنا إلى التفكير سريعا انه لحساب قوة ذات أساس سالب نقسم 1 على الأساس عدد مرات الأس فمثلا إذا كان أساس قوة هو 8 و وكان أسها هو 1- فإن :
 8-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125                            
8-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/82 = 1/64 = 0,015625
لاحــــظ أنه يمكننا إتباع طريقة منطقية في حساب قوة العدد 5 سواء كان الأس سالبا أو موجبا :
قوة العدد 5 :
.. إلخ..                         
525 × 5 × 125
515 × 15
5011
5-15 ÷ 10,2
5-2 5 ÷ 5 ÷ 10,04
.. إلخ..
تعميم :
بصفة عامة : ليكن a و x/y عددان جذريان غير منعدمين و n عدد صحيح طبيعي.
أمثلــــة :
الأس السالب

بإستعمال المقلوب و الأس الموجب

القيمة العددية
4-2
=
42 / 1
=
1/16 = 0,0625
10-3
=
103 / 1
=
1/1000 = 0,001
المزيد من الشرح لهذه البدبهية على الفيدو التالي :
» تابع القراءة

في درس سابق تعرفنا على مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم و تعرفنا على الخاصيات الأساسية لتماثل المحوري. في هذا التدريب سنستغل إثنتين في البرهنة على إستقامية النقط و إثبات صحة متساوية من خلال حل مسألة (أنظر نص المسألة فيما يأتي )  :
ماهو البرهان و ماهي خطواته ؟

عندما يقال لك برهن أن ... فهم يقصدون أن تقوم بعمل حل التمرين أو السؤال وفق طريقة منطقية في الجواب مستخدما خاصيات الهندسة و الحساب دون اللجوء الى الادوات الهندسية فى القياس 
خطوات تحرير البرهان :
  1. قراءة نص المسألة جيدا.
  2. تحديد المعلومات المتاحة بالمسألة ( إستخراج المعطيات).
  3. إنشاء شكل مناسب و دقيق.
  4. تحديد المراد ايجاده او اثبات صحتة ( المطلوب )
  5. وضع مسودة خطاطة باستخدام المعطيات للوصول الى المطلوب من خلال ترتيب الخطوات لايجاد الحل
  6. صياغة و تحرير البرهان بإحترام ترتيب الخطوات مستعملا جملا مفيدة (أحيانا نستعمل الرموز). 

خاصية الحفاظ على المسافة - خاصية الحفاظ على إستقامية النقط

'A و'B و'C هي مماثلات A وB وC على التوالي بالنسبة لمستقيم (p)
  1. الثماثل المحوري يحافظ على إستقامية النقط : إذا كانت النقط A وB وC نقط مستقيمية فإن 'A و'B و'C أيضا مستقيمية. 
  2. الثماثل المحوري يحافظ على المسافة : 'AB = A'B  و 'BC = B'C

تدريب : أسئلة تفاعليـــــة

         نص المسألة :  (تمرين رقم 41 صفحة 123 كتاب المسار في الرياضيات)
[AB] قطعة منتصفها M . و (d) مستقيم غير عمودي عليها.
E مماثلة النقطة A بالنسبة للمستقيم  (d) و F مماثلة النقطة B بالنسبة للمستقيم  (d).
  1. أنشئ الشكل
  2. برهن أن النقط E وM وF مستقيمية.
  3. أثبت أن M منتصف القطعة [EF]
1). الشكل + المعطيات + مسودة البرهان :
برهان حول التماتل المحوري
خطاطة البرهان
برهان حول التماتل المحوري
خطاطـــــة البرهان
البرهان :


» تابع القراءة

في ما يلي أربعة تمارين محلولة حول جمع و ضرب الأعداد الجذرية المطلوب منك فيها توظيف مهارات  الإختزال و توحيد المقامات و تطبيق قواعد الجمع و الطرح على الأعداد الجذرية .
تمارين و حلول حول جمع و ضرب الكسور

إختبار معلومات + تمارين محلولة

         تمرين 1 : أحسب مايلي :

حل التمرين 1 :
           تمرين 2أحسب مايلي معطيا الناتج على شكل عدد جذري مختزل إختزالا نهائيا

حل التمرين 2 :
         تمرين 3تمرين رقم 24 صفحة 38 كتاب المسار السنة الثانية إعدادي
A وB وC ثلاث نقط من المستوى حيث أن :
أتبث أن النقط A وB وC مستقيمية.
حل التمرين 3 :
خاصية :
A و B و C ثلاث نقط مختلفــة
إذا كانت A تنتمي إلى القطعة [BC] فإن : BC = AC + AB
إذا كانت A لا تنتمي إلى القطعة [BC] فإن : BC < AC + AB
يمكنك مراجعة هذه الخاصية في هذه الصفحة : المتفاوتة المثلثية.
من خلال الخاصية السابقة و كي نتبث أن النقط A وB وC مستقيمية يكفي أن نبين أن BC = AB + AC.
ملاحظة : A تنتمي إلى القطعة [BC] تعني أن النقط A وB وC مستقيمية.
إذن النقط A وB وC مستقيمية.
         تمرين 4 : 
a و b عددان عشريان نسبيان حيث أن
حل التمرين 4 :

» تابع القراءة

كل عدد يكتب على شكل a/b حيث a وb عددان صحيحان نسبيان وb غير منعدم يسمى عددا جذريا. في هذا الدرس نتعرف على قواعد جمع و طرح الأعداد الجذرية و نتناول الخاصيات المساعدة في حساب مجموع أو فرق هذه الأعداد :

ماهو العدد الجذري ؟

         تعريف :
العدد الجذري هو خارج عدد صحيح نسبي a على عدد صحيح نسبي غير منعدم b و يكتب  : a/b
أمثلــــة :
ملاحظات هامة :
نعتبر العدد الجذري  a/b
  • a  يسمى البسط وb يسمى المقام .
  • يكون عدد جذري a/b موجبا إذا كان للعددين a  و b  نفس الإشارة .
  • يكون عدد جذري a/b سالبا  إذا كان للعددين a  و b إشارتين مختلفتين.

كيف نحسب مجموع وفرق عددين جذريين ؟

من خلال تعريف العدد الجدري أعلاه يمكن أن نصادف في جمع و طرح الأعداد الجذرية ثلات حالات : أن يكون العددان بذات المقام الموحد أو أن يكون مقام أحدهما مضاعفا للأخر أو أن يكونا بمقامين مختلفين :

a)  إذا كان للعددين الجذريين نفس المقام.

لحساب مجموع عددين جذريين لهما نفس المقام نقوم بالخطوات التالية :
  1. نحتفظ بنفس المقام
  2. نجمع البسطين
  3. نختزل إن أمكن ذلك
         قاعدة 1

مثال أخر وشروحات على الفيديو التالي :

b)  إذا كان مقام أحد العددين الجذريين مضاعفا لمقام الأخر.

في هذه الحالة نقوم بما يلي :
  1. نضرب (أو نقسم) بسط و مقام أحد العددين الجدريين في عدد صحيح نسبي غير منعدم للحصول على مقام موحد.
  2. نجمع بإستعمال القاعدة رقم 1.
  3. نختزل إن أمكن ذلك
         قاعدة 2 :
إذا كان a/b و c/d عددان جذريان حيث d مضاعف ل b فإنه يوجد عدد صحيح نسبي m غير منعدم حيث :

c)  إذا كان للعددين الجذريين مقامين مختلفين.

في هذه الحالة نقوم بما يلي :
  1. نوحد المقامات
  2. نجمع بإستعمال القاعدة رقم 1.
  3. نختزل إن أمكن ذلك
         قاعدة 3 :
a/b و c/d عددان جذريان  :


أمثلة محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك إختيار الأعداد  الجذرية التي تريد و سنتكفل بإعطاءك الحلول الكاملة :

تمارين تطبيقية للإنجاز الفردي :

خاصية :
a/b وc/d وe/f  أعداد جذرية لدينا :

» تابع القراءة

بعد أن تعرفنا على مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم، في هذا الدرس نتعرف على مماثلات بعض الأشكال الهندسية كالقطعة المستقيمة و المستقيم و الدائرة و الزاوية بتماثل محوري ثم نستعرض الخاصيات الأساسية المتعلقة بالتماثل المحوري.

1) مماثلة قطعة بالنسبة لمستقيم.

لإنشاء مماثلة القطعة [AB] بالنسبة للمستقيم  (d) يكفي أن ننشئ مماثلثي  A و B على التوالي بالنسبة ل  (d) و لتكن 'A و 'B.
أنظر في هذه الصفحة طريقة إنشاء مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم
خاصيــــــة :

           (d) مستقيم و [AB] قطعة.
إذا كانت 'A و 'B هما على التوالي مماثلتي A و B بالنسبة للمستقيم (d) فإن القطعة ['A'B] هي مماثلة القطعة [AB] بالنسبة للمستقيم (d) .
مماثلة النقطة A بالنسبة للمستقيم (d) هي النقطة 'A
مماثلة النقطة B بالنسبة للمستقيم (d) هي النقطة 'B
=>  مماثلة القطعة [AB] بالنسبة للمستقيم (d) هي القطعة  ['A'B] و لدينا :      'AB = A'B    
تعميـــــم :
التماثـل المحــوري يحافظ على المسافة بين نقطتين.
  'Sd(A) = A  ;  Sd(B) = B'   =>   AB = A'B

2) مماثل مستقيم بالنسبة لمستقيم.

سنميز هنا ثلات حالات مختلفة تبعا للأوضاع النسبية للمستقيم (AB) و المستقيم (d) :
الحالة 1 : المستقيم (d) يقطع المستقيم (AB) في نقطة.
نلاحظ أن  ('A'B) يقطع هو الأخر المستقيم في نفس النقطة.
الحالة 2 : المستقيم (d) يوازي (AB).
نلاحظ أن  ('A'B)  يوازي (AB).  نكتب:                     (A'B') // (AB)                          
الحالة 3 : المستقيم (d) عمودي على (AB).
نلاحظ أن  ('A'B) و (AB) منطبقان.                          ('AB)  = (A'B)    
خاصيــــــة :

           (d) و (AB) مستقيمان و ('A'B) مماثل (AB) بالنسبة للمستقيم (d) .
1 – إذا كان : (d) يقطع (AB) في نقطة فإن ('A'B) يقطع كذلك (d) في نفس النقطة.
2 – إذا كان : (AB) // (d) فإن (A'B') // (AB) .
3 – إذا كان : (d) عمودي على (AB) فإن ('AB)  = (A'B).

3) مماثلات نقط مستقيمية بالنسبة لمستقيم.

A  و B  و C نقط مستقيمية و (d) مستقيم.
لننشئ 'A  و 'B  و 'C  مماثلات A  و B  و C على التوالي بالنسبة للمستقيم (d)  .
خاصيــــــة :
نلاحظ أن  : 'A   و'B  و 'C  هي كذلك  نقط  مستقيمية .

           مماثلات نقط مستقيمية بالنسبة لمستقيم هي كذلك نقط مستقيمية .
تعميـــــم :
التماثـل المحــــــوري يحافظ على استقامية النقـــــــــــــــط.

4) مماثل دائرة بالنسبة لمستقيم.

 ( C )  دائرة مركزها A و شعاعها r
خاصيــــــة :

           مماثلة دائرة( C )  مركزها A  و شعاعها r بالنسبة لمستقيم (d) هي الدائرة ( 'C)  مركزها 'A مماثل A بالنسبة للمستقيم (d)  و شعاعها  r 
ملاحظـــــــة :
لإنشاء مماثلة دائرة بالنسبة لمستقيم (d) ننشئ مماثل المركز بالنسبة للمستقيم (d) و نحتفظ بنفس الشعاع .

5) مماثل زاوية بالنسبة لمستقيم.

خاصيــــــة :

           (d)  مستقيم و BÂC  زاوية .
إذا كانت 'A و'C و'B هي مماثلات A وC وB على التوالي بالنسبة للمستقيم (d) فإن :  'BÂC = B'Â'C                   
تعميـــــم :
التماثـل المحــــــوري يحافظ على قياس الزوايا.

لعبة الوجه المبشور

المطلوب منك في هذه اللعبة و بالإعتماد على خاصيات التماثل المحوري أن تنجز شكلين (وجهين) متماثلين بالنسبة للمستقيم بلون أحمر. قم بمسك و سحب النقط الملونة و إستعن بالترصيفات لتتنجز ذلك :
» تابع القراءة

في الهندسة نقول أن شكلين F و'F متماثلين بالنسبة لمستقيم (d) إذا كانا قابلين للتطابق عند الطي الإفتراضي و فق المستقيم (d). الشكل 'F يسمى أيضا صورة الشكل F بالتماثل المحوري ذو المستقيم (d).

في هذا الدرس نعطي تعريف لمماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم و نتعرف على مماثلات بعض الأشكال الهندسية  كالقطعة المستقيم الدائرة و الزاوية، كذلك سندرج طريقتين لإنشاء مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم.

مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم

             قاعدة : (d) مستقيم و A نقطة خارجه .تكون النقطة 'A مماثلة النقطة A بالنسبة للمستقيم (d) إذا كان (d) هو واسط القطعة ['AA]. و نكتب :  'Sd(A)= A

ملاحظـــــــة : إذا كانت النقطة A  تنتمي إلى محور التماثل فإن مماثلتها هي نفسها Sd(A)= A

طرق إنشاء مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم

1) كيف ننشئ مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم باستعمال الكوس و البركار

2) كيف ننشئ مماثلة نقطة بالنسبة لمستقيم باستعمال البركار

3) لعبة الترصيفات

المبدأ في هذه اللعبة هو الحصول على أشكال متماثلة من خلال إستعمال الترصيفات.

  1. إختر محور التماثل (مؤشر المزلقة بلون أسود)
  2. إضغط على أحد المربعات الصغيرة لتلوينه بالأسود على أساس الحصول على شكلين متماثلين بالنسبة للمستقيم الأحمر
  3. إذا أخطأت يمكنك تدارك دلك من خلال الضغط على زر إمسح الكل
  4. في كل لحظة تعذرت عليك الإجابة يمكنك الضغط على زر الجواب 


تمرين تطبيقي

         نص التمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A .
C’ مماثلة C بالنسبة للنقطة A .
أثبت أن C’ هي مماثلة النقطة C بالنسبة للمستقيم (AB) .
الشكل :
» تابع القراءة

توحيد المقامات هو تقنية لمفهوم رياضي نستعملها لتسهيل جمع أو طرح الأعداد الكسرية أو ( الجدرية)، الفكرة الأساسية من وراءه تتمثل في جعل عددين أو عدة أعداد كسرية تشترك بذات المقام، وهو الأمر الذي يعني ببساطة الحديث عن نفس الوحدة عند جمع البسوط.
في هذا الدرس نتعرف على طريقة توحيد مقامي أو مقامات أعداد كسرية من خلال التذكير بالقاعدة التي تساعدنا على توحيد المقامات حيث سندرج مجموعة من الأمثلة التوضيحية و تطبيق على ذلك :

1) - قاعدة أساسية

قاعدة :
        عندما نضرب (أو نقسم) بسط و مقام عدد كسري (أوجدري) في نفس العدد الغير المنعدم نحصل على كسر مساو له.
أمثلــــة :

2) - توحيد المقامات

         توحيد مقامي أو مقامات عدة أعداد كسرية يعني جعل هذه الكسور تشترك بذات المقام بإستعمال القاعدة السابقة.
سندرج ثلات حالات :

1. عندما يكون مقام أحد العددين الكسريين مضاعفا للأخر :

مثال : و حد مقامي العددين 3/10  و 2/5
في العدد الكسري الأول لدينا المقام (10) هو مضاعف لمقام العدد الكسري الثاني (5). في هذه الحالة نقوم بالتالي :
  • نحتفظ بالعدد الكسري 3/10
  • نضرب مقام و بسط العدد 2/5 في 2 للحصول على نفس المقام الموحد (10).

2. عندما يكون المقامان أوليين فيما بينهما :

 يكون عددان صحيحان طبيعيان أوليين فيما بيهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر هو 1، بمعنى أنهما لايقبلان القسمة معا على أي عدد بإستثناء ال 1 .
مثال : وحد مقامي العددين 4/7  و 5/8
7 و 8 أوليان فيما بينهما : في هذه الحالة و للحصـول على المقام الموحد يكفي أن  نضرب المقامين ببعضهما (56=8×7).

3. الحالة العامة :

 عندما لا يحقق مقاما عددين كسريين شروط الحالة 1 أو 2 نلتجأ إلى حساب (PPCM(15;12  المضاعف المشترك الأصغر للمقامين.
يمكنك مراجعة طريقة تحديد المضاعف المشترك الأصغر على هذه الصفحة.
مثال : وحد مقامي العددين 2/15  و 5/12
12 و 15 لأحدهما مضاعف للأخــــر و لا هما أوليان فيما بينهما :
تطبيق على جمع عددين كسريين بمقامين مختلفين :

» تابع القراءة