في هذا الدرس نذكر بتعريف واسط قطعة و نستعرض أهم خاصياته، نتعرف على واسطات مثلث و نتظنن قاعدة متعلقة بذلك. في الأخير نوظف هذه القاعدة في حل مسألة هندسية عن طريق البرهان :

1) واسط قطعة - واسط مثلث :

أ) تعريف واسط قطعة (تذكير) :
     واسط قطعة هو المستقيم المارمن منتصفها و العمودي على حاملها.
نسمي (AH) إرتفاع المثلث ABC االموافق للضلع [BC] .
ب) خاصيات واسط قطعة (تذكير) :
          خاصيات :
  1. كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيها.
  2. كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة تنتمي إلى واسط هذه القطعة.
  3. واسط قطعة هو مجموعة النقط المتساوية المسافة عن طرفيها.
    ج) تعريف واسط مثلث :
         واسط مثلث هو واسط أحد اضلاعـــه.

    2) واسطات مثلث

    أ- نشاط تمهيدي
    المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة تتعلق بواسطات مثلث :
    1.  بإستعمال الأداة أنشئ مثلث ABC
    2. بإستعمال الأداة أنشئ  واسطات المثلث ABC
    3. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
    4. تظنن قاعدة متعلقة  بواسطات  المثلث.
    5. بإستعمال الأداة أنشئ  الدائرة التي مركزها نقطة تلاقي الواسطات وتمر من A. ماذا تلاحـــــظ ؟
    6. تظنن قاعدة متعلقة  بهذه الدائرة

    Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture          

    ب) خاصية  :
    واسطات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث.
    ج) تمرين تطبيقي :
                  نص التمرين :
    A وB وC ثلاث نقط من دائرة مركزها O.
    (d) المستقيم المارمن O و العمودي على (BC) في النقطة 'A.
    1. انشئ الشكل.
    2. برهن أن 'A هي منتصف [BC].
    3. ماذا يمثل المستقيم (d) بالنسبة للمثلث OBC ؟
    الشــــكل + البرهان :
    المعطيات :
    • دائرة مركزها O تحيط بالمثلث ABC.
    • (d) يمر من O و عمودي على (BC) في النقطة 'A.
    المطلوب : نبرهن أن 'A هي منتصف [BC]

    نص البرهان :
    2-
    A وB وC ثلاث نقط من دائرة مركزها O يعني أن : الدائرة التي مركزها O هي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
    أي أن : O هو نقطة تلاقي واسطات المثلث ABC.
    بمأن (d) يمر من O و عمودي على (BC) نستنتج أن : (d) واسط للضلع [BC]
    أي أن : (d) يقطع [BC] في المنتصف
    وبالتالي : 'A منتصف [BC].
    3-
    المستقيم (d) يمر من رأس المثلث OBC و عمودي على [BC] في منتصفه إذن يمكن إعتباره :
    • إرتفاعا المثلث OBC : لأنه مار من أحد رؤوس المثلث و عمودي على حامل الضلع المقابل.
    • واسطا في المثلث OBC : لانه واسط أحد أضلاعه (واسط [BC])
    • متوسطا في المثلث OBC : لانه مار من أحد رؤوس المثلث و منتصف الضلع المقابل.
    • منصفا للمثلث OBC : ينصف الزاوية BÔC إلى زاويتين لهما نفس القياس.
    إقرأ المزيد

    في هذا الدرس نتعرف على الإرتفاع في المثلث و نتعرف على خاصية إرتفاعات مثلث :

    1) إرتفاع مثلث :

    أ) تعريف :
         إرتفاع مثلث هو المستقيم المار من أحد رؤسه و العمودي على حامل الضلع المقابل
    نسمي (AH) إرتفاع المثلث ABC االموافق للضلع [BC] .
    ملاحظة هامة : يمكننا أن نرمز كذلك للارتفاع (AH)  بإحدى الرمزين  :  [AH]  أو AH.
    حالة خاصة : DEF مثلث بحيث  E زاوية منفرجة ، نلاحظ أن المسقط العمودي للنقطة D  لا ينتمي إلى القطعة [EF] .

    2) إرتفاعات مثلث

    أ- نشاط تمهيدي
    المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة تتعلق بإرتفاعات مثلث :
    1.  بإستعمال الأداة  أنشئ مثلث ABC
    2. بإستعمال الأداة أنشئ  إرتفاعات المثلث ABC
    3. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
    4. تظنن قاعدة متعلقة  بإرتفاعات  المثلث.

    Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture          

    خاصية و تعريف :
    إرتفاعات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز تعامد مثلث.
    تمرين تطبيقي :
                  نص التمرين :
    ABCD متوازي الأضلاع بحيث تكون الزاوية BÂD منفرجة.
    (d) المستقيم المارمن A و العمودي على (DC) في النقطة 'A.
    ('d) المستقيم المارمن C و العمودي على (DA) في النقطة 'C.
    المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في H.
    1. انشئ الشكل.
    2. برهن أن المستقيم (DH) عمودي على (AC).
    الشــــكل + البرهان :
    المعطيات :
    • (d) يمر من A وعمودي على (DC) في النقطة 'A.
    • ('d) يمر من C و عمودي على (DA) في النقطة 'C.
    • المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في H.
    المطلوب : نبين أن (DH) عمودي على (AC)

    نص البرهان :
    في المثلث ADC لدينا (d) مستقيم يمر من A و عمودي على (DC) إذن (d) هو الإرتفاع الموافق ل A.
    و لدينا ('d) مستقيم يمر من C و عمودي على (DA) إذن ('d) هو الإرتفاع الموافق ل C.
    بمأن (d) و ('d) يتقاطعان في H. نستنتج إذن أن H هو مركز تعامد المثلث ADC
    ومنه الإرتفاع الثالث للمثلث ADC و الموافق ل D يمرمن H.
    أي أن (DH) عمودي على (AC)
    إقرأ المزيد

    تعرفنا في موضوعين سابقين على خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث  و على خاصية المستقيم المارمن منتصف أحد الأضلاع و الموازي لحامل الضلع الثاني نتابع مع خاصية ثالثة هامة و مفيدة جدا خصوصا في حل المسائل الهندسية حسابيا : سنكتشف و نتظنن خاصية المستقيم الموازي لضلع في مثلث ونورد أمثلة تطبيقية على ذلك :

    المستقيم الموازي لضلع في المثلث :

    أ - نشاط تمهيدي :

    نعتبر مثلث ABC. و ليكن (d) مستقيم يوازي حامل الضلع [BC] و يقطع الضلعين [AB] و [AC] على التوالي في M و N. المطلوب منك في هذا النشاط هو مقارنة النسب :
    1. قم بتغيير أطوال أضلاع المثلث ABC (سحب و إفلات رؤوسه)، قم بتغيير و ضع M و N على الضلعين [AB] و [AC]. سنتكفل بدلا عنك بإجراء العمليات الحسابية و نعطيك ناتج كل نسبة على شكل قيمة مقربة إلى 0.01. المطلوب منك فقط تدوين ملاحظاتك كل مرة بخصوص  هذه النسب الثلاث.
    2. ماهي ملاحظاتك ؟ تظنن خاصية.

    ب - بصفة عامة :

                    خاصية :
    نعتبر ABC مثلث 
    إذا كانت M نقطة من [AB]  و N نقطة من [AC] وكان (MN) // (BC) فإن :

    ج - تمرين تطبيقي :

                  نص التمرين :
    أراد ملاحظ أن يعرف عمق البئر فوقف على حافتها و أصبح يبتعد عنها وفق خط مستقيم يشمل مركز الدائرة التي قطرها متر واحد والتي تمثل فوهة البئر و عندما يختفي عنه قعرها مباشرة يجد أنه إبتعد عن حافة  البئر مسافة 80cm ( انظر الصورة اسفله). 
    بفرض أن المستقيم (BC) يوازي (FD) ما هو عمق هذه البئر إذا علمت أنّ طول الملاحظ هو 1.6m ؟
    الشكل + البرهان :
    يمكن تطويع هذه الوضعية إلى شكل هندسي بسيط يتضمن مثلث AED قائم الزاوية في E و مستقيم (BC) يوازي (ED).
    في المثلث ADE لدينا B نقطة من [AE]  و O نقطة من [AD] و لدينا  (OB) // (ED) ، إذن حسب الخاصية السالفة لدينا :
    عمق هذه البئر هو : 2m.

    مسألة الحكيم طاليس

    طاليس يشرح للكهنة النظرية
    طاليس (في اليونانية: Θαλης) من مليتوس 634 ق.م.-543 ق.م. يعرف أيضا بتالس المليسي، أحد فلاسفة الإغريق قبل سقراط وواحد من حكماء الإغريق السبعة، يعتبره العديد الفيلسوف الأول في الثقافة اليونانية وأبو العلوم. عاش طاليس في مدينة مليتوس في أيونيا، بغرب تركيا.

    عندما زار طاليس مصر أُعجبَ به الكهنة المصريون، وأُعجبوا بطريقته المبتكرة في حل المسائل الرياضية التي عرضوها عليه.

    ولكي يختبروا حكمة هذا الضيف اليوناني قرروا أن يطرحوا عليه مسألة رياضياتية حقيقية فأخذوه إلى أكبر الأهرام في الصحراء وطلبوا منه قياس ارتفاعه. كان الكهنة متأكدين من أن هذا العاِلم الغريب لن يتمكن من حل المشكلة. ولكن الرياضياتي اليوناني لم يرتبك. بعد تفكير قصير طلب منهم أن يحضروا له عصا. 

    أحضر الكهنة العصا للضيف اليوناني معتقدين أنه سوف يتسلق الهرم ويبدأ بقياس ارتفاعه بشكل عملي مستخدماً لذلك العصا التي طلبها. ولكن طاليس لم يخطر بباله مثل هذا العمل ابداً، فقد أخذ العصا وغرزها بالرمل ثم قال للكهنة: عندما يصبح طول ظل العصا مساوياً لطولها، قيسوا طول ظل الهرم وسوف تحصلون على طول ارتفاعه ! 

    دهش الحكماء المصريون من بساطة وذكاء هذه الطريقة التي اتبعها طاليس في حل مسألة صعبة ومعقدة مثل مسألة قياس ارتفاع الهرم مما اضطر الكهنة المصريين للإعتراف بأن اليونانيين رياضياتيون ممتازون. وفي واقع الأمر فإن رياضياتي اليوناني قد أغنوا رياضيات ذلك العصر بمعارفهم الكثيرة.   الرياضيات في حياتنا (زلاتكاشبورير).
    في البرمجية التالية يمكنك إتباع الخطوات التي إستعملها طاليس لحل هذه المسألة :
    إقرأ المزيد

    بعد أن تعرفنا على خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث نتابع هذه المرة مع خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني : سنخمن قاعدة و نبرهن على صحتها ، ثم نعمم النتيجة على جميع المستقيمات التي تمر من منتصف أحد الأضلاع في مثلث و توازي حامل الضلع الثالث :

    المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني :

    أ - نشاط تمهيدي :

    المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة للمستقيم  المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني :
    1.  بإستعمال الأداة  أنشئ مثلث ABC
    2. بإستعمال الأداة أنشئ  منتصف الضلع [AB].
    3. بإستعمال الأداة أنشئ المستقيم المار من منتصف [AB] و الموازي للمستقيم (BC).
    4. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
    5. خمن قاعدة متعلقة بالمثلث و المستقيم المار من منتصف أحد أضلاعه و الموازي لحامل الضلع الثاني :
    معاينة طريقة الإنشاء :

    Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture  



    ب - البرهان على القاعدة :

    المعطيات :
    • ABC مثلث.
    • I منتصف الضلع [AB].
    • (D) يمر من I و يوازي (BC) و يقطع [AC] في J. 
    المطلوب : نتبث أن J منتصف  [AC].
    البرهان :
    • نفرض أن H  هو المسقط العمودي للنقطة C على المستقيم  (AB) :
     إذن [CH] إرتفاع في المثلثين CBA و CBI.
    و منه :  2 ÷  (S(CAB) = (CH × AB  و2 ÷ (S(CBI) = (CH × IB      (المساحة : S)
    بمأن : AB = 2IB (لأن I منتصف [AB]) فإن : (S(CBI) = 1/2 × S(CAB      علاقة 1
    •  نفرض أن M  و N  هما المسقطين العموديين ل I و J على المستقيم (BC) على التوالي :
    لدينا المستقيم (IJ) يوازي حامل الضلع [BC] إذن سيكون للمثلثين CBI وCBJ قاعدة مشتركة هي الضلع [BC] و إرتفاعان [IM] و [JN]  لهما نفس الطول ( الرباعي IJNM سيكون عبارة عن مستطيل ).
                                         و هذا يعني أن :        (S(CBI) = S(CBJ              علاقة 2

    من خلال العلاقتين 1 و 2 نستنتج أن : (S(CBJ) = 1/2 × S(CAB
    مساحة المثلث CAB هي ضعف مساحة المثلث CBJ  والنقط A و J و C مستقيميية إذن :
    AC = 2CJ و منه J منتصف  [AC].

    ج - بصفة عامة :

                    خاصية :
    المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني يقطع الضلع الثالث في منتصفه..
    بتعبير أخـــر :
    ABC مثلث 
    إذا كان : I منتصف [AB] و (d) // (BC)  فإن : (d) يقطع [AC] في منتصفها J. 

    د - تمرين تطبيقي :

                  نص التمرين :
    ABCD متوازي الأضلاع مركزه O  و M منتصف [AD].
    المستقيم (OM) يقطع [BC] في النقطة N .
    1. أنشئ الشكـــــل
    2. أثبت أن N منتصف [BC] .
    الشكل + البرهان :
    إقرأ المزيد

    في هذا الدرس نتعرف على خاصية هامة في المثلث بإعتبار منتصفي ضلعين فيه، سنقوم بخطوتين أساسيتين : الأولى نكتشف و نخمن قاعدة المستقيم المار من منتصفي ضلعين في مثلث بعلاقة مع حامل الضلع الثالث ، و قاعدة طول القطعة الواصلة بين المنتصفين بعلاقة مع طول الضلع الثالث، أما الخطوة الثانية نبرهن على صحة هذه القواعد ثم نعمم النتائج :

    المستقيم المار من منتصفي ضلعين في المثلث

    أ - نشاط تمهيدي :

    المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة للمستقيم  المار من منتصفي ضلعين في المثلث و قاعدة لطول القطعة الواصلة بين المنتصفين بعلاقة مع طول الضلع الثالث في نفس المثلث.
    1- بإستعمال الأداة  أنشئ مثلث ABC
    2- بإستعمال الأداة أنشئ  منتصفي الضلعين [AB] و [AC].
    3- بإستعمال الأداة أنشئ المستقيم المار من المنتصفين.
    4 - قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
    5- خمن قاعدة متعلقة بالمثلث و المستقيم المار من المنتصفين وقاعدة متعلقة بطول القطعة الواصلة بين المنتصفين بعلاقة مع طول الضلع الثالث في المثلث.
    معاينة طريقة الإنشاء :

    ِCliquer ici pour voir la construction : 


    ب - البرهان على القاعدتين :

    المعطيات :
    • ABC مثلث.
    • I و J  على التوالي منتصفي الضلعين [AB] و [AC].
    المطلوب : نتبث أن (BC) // (IJ) و BC = 2IJ.
    سيكون من المفيد جدا أن ننشئ نقطة نسميها مثلا K تكون هي مماثلة النقطة  I بالنسبة ل  J .
    تتبع مراحل البرهان على البرمجية : قم بمسك و تحريك النقطة الزرقاء و سنقوم بإستعراض البرهان خطوة بخطوة :

    ج - بصفة عامة :

                    خاصية :
    المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث يوازي حامل الضلع الثالث. و طول القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعي مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث.
    بتعبير أخـــر :
    ABC مثلث 
    إذا كان : I منتصف [AB] و J منتصف [AC] فإن : (IJ) // (BC)  و BC = 2IJ

    د - تمرين تطبيقي :

                  نص التمرين :
    [AB] قطعة طولها 3cm و O نقطة لا تنتمي إلى القطعة [AB].
    M هي مماثلة النقطة O بالنسبة للنقطة A و N هي مماثلة النقطة O بالنسبة للنقطة B.
    1. أنشئ الشكــــل
    2. برهن أن (MN) // (AB)  وأن  MN = 6cm
    الشكل + البرهان :
    الشكـــــــــل
    إقرأ المزيد

    في هذا الدرس نتعرف على مقلوب عدد جذري غير منعدم و على طريقة حساب خارج عددين جذريين من خلال القاعدة التي تنظم ذلك.  الموضوع يتضمن مجموعة من الأمثلة التي تشرح تطبيق هذه القواعد و سلسلة من التمارين للإنجاز الفردي :
    قسمة الأعداد الجذرية : قواعد و تطبيقات

    قسمة عددين جذريين

    1- مقلوب عدد جذري غير منعدم :

    تعريف :
                     تعريف :
    • عندما يكون جداء عددين جذريين غير منعدمين يساوي 1، يسمى كل من العددين مقلوبا للأخـــر.
    • مقلوب العدد الجذري x (غير منعدم) هو العدد الجذري 1/x و نرمز له أيضا ب x-1.
    • جميع الأعداد الجذرية لها مقلوبات بإستثناء 0.
    أمثلة :
    ملاحظـــة هامة :
    لا يجب الخلــــط بين المقابل ( المجموع = صفر ) و المقلوب ( الجداء = 1 ).
    • مقابل العدد 3 هو 3- و لدينا : 0 = 3 + (3-)
    • مقلوب العدد 3 هو 1/3 و لدينا : 1 = 1/3 × 3.

    2 - خارج عددين جذريين :

                   قاعدة :
    لحساب خارج عدد جذري على عدد جذري أخر غير منعدم نضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني :
    تمرين تطبيقي :
    أحسب ما يلي
    الحــــــل :

    Cliquer ici pour voir les solutions    ! 

    أمثلـــة محوسبة :
    في البرمجية التالية يمكنك حساب خارج عددين جذريين، قم بتحديد العدد الجذري الأول و الثاني من خلال تحديد البسط و المقام على مؤشر المزلقة، سنقدم لك الحل جاهزا مرفوق بمراحـــل الإنجاز :

    إختبار قصير + تمارين منزلية :

    1- إختبار قصير : صحيح أم خطـــأ ؟

    2- تمارين الإنجاز الفردي :

    إقرأ المزيد

    أتريد أن تبهر صديقك بلعبة أرقام مسلية و مفيدة ؟ ...ناول إذن صديقك ورقة و قلم،  و أطلب منه أن يختار عدد مؤلف من 6 أرقام، سيقوم بعملية حسابية ويعيد لك الناتج برقم مفقود،  أضف إلى ذلك قولك ، انك ستعرف ھذا الرقم الناقص، إنها فقط عمليات حسابية بسيطة جدا ستقوم بها، أكيد أنها ستثير لدى صديقك الكثير من الفضول و الدهشة، سیكون ذلك سھلا علیك لانك ستعرف السر ، ولكن سیبدو ذلك مذھلا بالنسبة إلى كل الذین لا یعرفون السر.

    لعبة الرقم المفقود

              تعليمات :

    1. اطلب من صديقك أن یسجل خفیة عددا مكون من ستة أرقام ، ثم یقوم بجمعه سرا مع العدد نفسه معكوسا.
    2. اطلب إليه أن یسجل المجموع الذي حصل علیه، ولكن اطلب منه أن یحذف أي عدد من ھذا المجموع ویستبدله بشرطة ب ( - ) ، ودعه یریك ھذه النتیجة الناقصة.
    3. ستقوم أنت ببعض العمليات الذهنية و تعطيه الرقم المفقود.

    الیك السر :

        : Cliquer ici pour voir le secret      



    مثال رقم 1 :

       : Cliquer ici pour voir le premier exemple       



    مثال رقم 2 :

         : Cliquer ici pour voir un deuxième exemple      



    إقرأ المزيد