القوى

‏إظهار الرسائل ذات التسميات القوى. إظهار كافة الرسائل

سلسلة تمارين وحلول حول قوة عدد جذري

سلسلة تمارين وحلول حول القوى في الأعداد الجذرية نتناول من خلالها حساب قوة عدد جذري ذات الأس الصحيح النسبي أو كتابة عدد على شكل قوة، نتناول كذلك خاصيات القوى و تطبيقاتها في حساب أو تبسبط تعابير رياضية. السلسلة تتضمن إثنا سبعة تمارين محلولة و ثلاث تمارين باللغة الفرنسية. يمكنك تحميل أو معاينة التمارين كي تنجزها بشكل فردي و تقارن الحلول المتوصل إليها :

معاينة تحميل

الكتابة العلمية لعدد عشري نسبي

يواجه علماء ومهندسون أحياناً أعدادا وحجومًا وكميات صغيرة جدًا او كبيرة جدًا مثل: أجزاء من الألف، أجزاء من مليون، أو أجزاء من مليار، على سبيل المثال نانوتكنولوجيا او بإختصار نانوتك هو اسم يشمل مجال البحث والتكنولوجيا وهو جديد نسبيًا، يبحث باجسام ذي قياسات ذرية وصغيرة جداً جداً !
العمل مع اعدادٍ كهذه شيء غير سهل و كتابتها تستهلك الزمن ومُعَقدة. حتى اذا مررنا الحسابات للتكنولوجيا، ادخال هذه الاعداد يستهلك زمناً ودقة متناهية.

العمليات على قوى العدد 10 ذات الأس السالب

ابتكر الفزيائيون والفلكيون طريقة لتسهيل قراءة المسافات بيننا وبين النجوم بسبب بعدها الكبير عنا وهي طريقة قياس المسافات بالسنة الضوئية على أساس أن سرعة الضوء في الفراغ ثابتة دائما وتبلغ ( m/s 3 × 10⁸ ) نحو 300.000 كيلومتر في الثانية. فيمكننا القول بأن الشمس تبعد عنا ب ( km 1.5 × 10⁸ ) أي ما يساوي 150 مليون كيلومتر أو القول بأن المسافة بينهما تبلغ 8 دقائق. يستغرق الضوء عند خروجه من الشمس حتى يصلنا 8 دقائق.
في محاكاة الفلاش التالي يمكنك تخيل مثل هذه المسافات، إستعمل أسهم الإنتقال :

بعد أن تعرفنا على قوى العدد 10 ذات الأس الموجب في درس سابق، نتابع و نعمم العمليات على قوى العدد 10 ذات الأس السالب. نعطي تعريف و نتطرق إلى الخاصيات الأساسية للحساب بإستعمال قوى العدد 10.

1)- تعريف + أمثلــــة :

أ - تعريف

تعريف :
لكل n عدد صحيح طبيعي (n > 0)

ب - أمثلـــــة :

10³= 10×10 ×10 = 1 000

10⁶= 10×10×10×10×10×10= 1 000 000

10⁸= 10×10×10×10×10×10×10×10= 100 000 000

10^-2= 0,1×0,1 = 0,01

10^-3= 0,1×0,1×0,1 = 0,001

10^-5= 0,1×0,1×0,1×0,1×0,1 = 0,00001

ج - تمرين تطبيقي :

1) أكتب الأعداد التالية بدلالة قوى العدد 10 :

200 ، 30000 ،0.0008 ، 0.002 -

2) أعط الكتابة العشرية ل :

2.1 × 10^{-2 ;}15 × 10^{-3 ;}7 × 10⁶

الجواب :

: Cliquer ici pour voir les solutions

د - تدريب :

الهدف من هذا التدريب هو أن تتعلم إعطاء الكتابة العشرية لعدد مكتوب بدلالة قوى العدد 10 (كما في السؤال الثاني من التمرين التطبيقي). في البرمجية التالية قم بتتبع التعليمتين التاليتين :

أكتب عدد صحيحا أو عشريا في الخانة المخصصة.
ضع علامة صح في المربع الصغير( أس موجب / أس سالب )، ثم من خلال مؤشر المزلقة بلون أسود إختر قيمة للأس.

سنعطيك ناتج ضرب (العدد الذي كتبته) × (قوة العدد 10 التي إخترتها) على شكل كتابة عشرية مرفوق بطريقة إنجاز العملية.
تدريب :

2) العمليات على قوى العدد 10:

في البرمجية التالية سنحاول إستكشاف القواعد الأساسية لحساب جداء و خارج قوتين أساسهما العدد 10 و قوة قوة أساسها أيضا العدد 10. سنعتبر عددين صحيحين نسبيين m و n سنغير من قيم الأسين و سنقارن النتائج المحصل عليها في كل حالة. تتبع التعليمات التالية :

قم بتغيير الأس من خلال المؤشرين بلون أحمر و أزرق.
قارن النتائج المحصل عليها
ماذا تستنتج ؟ (خمن قاعدة لكل حساب)
إن لم تستطيع تخمين القاعدة ضع علامة صح في المربع الصغير في الأسفل و سنعطيك القاعدة.

أ - بصفة عامة :

مهما يكن m و n عددان صحيحان نسبيان فإن :

ب - تمرين تطبيقي :

أحسب ما يلي :

الجواب :

: Cliquer ici pour voir les solutions

3- تمارين و إختبار معلومات

أ - إختبار قصير :

ب - تمارين للإنجاز الفردي

قوة عدد جذري ذات الأس السالب

تعرفنا في درس سابق على قوه عدد عشري نسبي ذات الأس الموجب و تناولنا الخصائص المتعلقة بحساب جداء و خارج قوتين، و قوة قوة للأعداد العشرية النسبية. في هذا الدرس نعمم التعريف على الأعداد الجدرية و نتطرق إلى مفهوم قوة عدد جذري ذات الأس السالب و بديهية الأسس السالبة :

1) قوة عدد جذري ذات الأس الموجب

في الرياضيات الضرب المتكرر أو الرفع إلى قوة هو تكرار ضرب العدد في نفسه عدة مرات مثل : 3×3×3 أو 1×1×1×1×1 ولكنها يتم اختصار هذه العملية في صيغة بسيطة فمثلا : 3⁴= 3×3×3×3، 3⁴تسمى القوة الرابعة للعدد ثلاثة وتقرأ "3 أس 4" ويسمى العدد 3 الأساس و 4 الأس.

الأساس :
وهو العدد الذي يتم تكراره في عملية الضرب المتكرر, فعلى سبيل المثال 3⁴أساسها يساوى 3 لأن الثلاثة هي العدد الذي تم تكريره.

الأس :
وهي قوة العدد أو عدد مرات تكراره فمثلا 6³أسها يساوى 3 لأن الأساس الذي يساوى 6 قد تم تكريرها ثلاثة مرات.

ملحوظات :

تُقرأ العملية 8⁹كما يلي : 8 أس 9 أو القوة التاسعة للعدد 8.
لا داعى لكتابة الواحد إذا كان الواحد أسا لعدد ما لأن أي عدد مرفوع له أس واحد يساوي نفس العدد. على سبيل المثال 8 = 8¹
الضرب في 1 لا يغير من قيمة الناتج : a × 1 = a كيفما كان العدد a.

بصفة عامة : ليكن a عددا جذريا و عدد صحيح طبيعي.

* إذا كان n > 1 فإن :

* إذا كان n = 1 فإن : a = a¹

* إذا كان n = 0 و a مخالف للصفر فإن : 1 = a⁰

أمثلة محوسبة :
قم بتغيير الأساس من خلال تغيير قيم البسط والمقام ، قم بتغيير كذلك قيم الأس و سنتكفل بإعطائك ناتج القوة :

2) قوة عدد جذري ذات الأس السالب :

الأن و بعد أن تعرفنا على قوة عدد جذري ذات الأساس الموجب، و على طريقة حساب هذه القوة بإعتماد الضرب المتكرر للأساس في نفسه عدد مرات الأس .
كيف يمكننا إذن حساب قوة ذات أس سالبا مثلا " 5 أس 3- " ؟

أنت تعلم أنه لقسمة عدد على الأخر نضرب الأول في مقلوب الثاني :

a ÷ b = a × 1/b

هذا يقودنا إلى التفكير سريعا انه لحساب قوة ذات أساس سالب نقسم 1 على الأساس عدد مرات الأس فمثلا إذا كان أساس قوة هو 8 و وكان أسها هو 1- فإن :

8^-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125

8^-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/8² = 1/64 = 0,015625

لاحــــظ أنه يمكننا إتباع طريقة منطقية في حساب قوة العدد 5 سواء كان الأس سالبا أو موجبا :

قوة العدد 5 :
	.. إلخ..
5²	5 × 5 × 1	25
5¹	5 × 1	5
5⁰	1	1
5^-1	5 ÷ 1	0,2
5^-2	5 ÷ 5 ÷ 1	0,04
	.. إلخ..

تعميم :

بصفة عامة : ليكن a و x/y عددان جذريان غير منعدمين و n عدد صحيح طبيعي.

أمثلــــة :

الأس السالب		بإستعمال المقلوب و الأس الموجب		القيمة العددية
4^-2	=	4² / 1	=	1/16 = 0,0625
10^-3	=	10³ / 1	=	1/1000 = 0,001

المزيد من الشرح لهذه البدبهية على الفيدو التالي :

قوة قوة ، جداء قوتين، خارج قوتين : تمارين محلولة

فيما يلي أربعة تمارين مرفقة بالحلول من خلالها نقوم بتبسيط تعابير على شكل قوة لعدد عشري نسبي و إتبات متساويات بإستعمال خاصيات القوى ذات الأس الموجب، نتناول ذلك بإستغلال خاصية قوة قوة ، جداء قوتين لهما نفس الأساس، جداء قوتين لهما نفس الأس، خارج قوتين لهما نفس الأساس :

تذكيـــــر :

قوة قوة ، جداء قوتين لهما نفس الأساس، خارج قوتين لهما نفس الأساس :

تمرين رقم 1 :
أكتب على شكل قوة العدد العشري النسبي a حيث a عدد غير منعدم :

الحل :

قوة قوة ، جداء قوتين لهما نفس الأساس، خارج قوتين لهما نفس الأساس :

تمرين رقم 2 :

أكتب على شكل قوة أساسها 3 العدد : 243 × 81 × 27
أكتب على شكل قوة أساسها 10 العدد : 100000 × 1000 × 100
أكتب على شكل قوة أساسها 2 العدد : 8 × 128 × 64

الحل :

جداء قوتين لهما نفس الأس، قوى العدد 10 :

تمرين رقم 3 :
إذاعلمت أن :

فأعط نتيجة العملية التالية :

الحل :

قوة قوة ، جداء قوتين لهما نفس الأساس، جداء قوتين لهما نفس الأس :

تمرين رقم 4 :
بين أن :

الحل :

تمارين و حلول حول قوى العدد 10 ذات الأس الموجب

فيما يلي تدريبات و تمارين محلولة حول قوى العدد 10 ذات الأس الموجب تتضمن بطاقة للمعلومات عبارة عن تذكير بقوى العدد 10 و خاصياتها في حالة الأس الموجب ، أسئلة و تمارين محوسبة لإختبار المعلومات و تمارين إضافية للإنجاز الفردي :

تذكيــــر : بطاقة معلومات

أسئلة و إختبار معلومات

تمرين محلول

تمرين : رقم 25 صفحة 79 كتاب النجاح في الرياضيات للأولى إعدادي

أكتب على شكل قوة للعدد 10

الحل :

تمارين للإنجاز المنزلي

قوى العدد 10 ذات الأس موجب

تعرفنا في درس سابق على القوى ذات الأس الموجب و تعرفنا على بعض الخاصيات المتعلقة بالقوى ذات اساس عشري نسبي و اس صحيح نسبيي موجب. في هذا الدرس سنتعرف على قوى العدد 10 و خاصياتها وكيف نستفيد منها لتسهيل العمليات الحسابية.

عندما نتحدث عن قوى العدد 10 ذات الأس الموجب فإننا نتحدث عن قوة أساسها العدد 10 و أسها عدد صحيح نسبيي موجب، تأمل ما يلي :

10x10 = 100

10x10x10 = 1000

10x10x10x10x10 = 10000

10x10x10x10x10x10 = 100000

10x10x10x10x10x10x10 = 1000000

10x10x10x10x10x10x10x10 = 10000000

10x10x10x10x10x10x10x10x10 = ...

10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = ...

يمكنك ملاحظة أن :

10² = 10x10 = 100

10^{3 =}10x10x10 = 1000

10^{4 =}10x10x10x10 = 10000

..........

كما يمكنك ملاحظة أن :

بصفة عامة :
إذا كان n عدد صحيح نسبي موجب غير منعدم فإن :

خاصيات :
إذا كان n و m عددان صحيحان نسبيان فإن :

تطبيقات :
بدون إنجاز عملية الضرب أحسب مايلي معطيا النتيجة بدلالة قوى العدد 10 :

A = 200 x 13000 ;; B = 10000000 x 50000 ;; C = 5000 x 2000

A = 200 x 13000

= 2 x 100 x 13 x 1000

= 2 x 10² x 13 x 10³

= 2 x 13 x 10² x 10³

= 26 x 10⁵

B = 10000000 x 50000

= 10⁷ x 5 x 10⁴

= 5 x 10¹¹

C = 5000 x 2000

= 5 x 10³ x 2 x 10³

= 5 x 2 x 10⁶

= 10 x 10⁶

= 10⁷

تمارين و حلول حول قوى العدد 10 ذات الأس الموجب

قوة قوة ، جداء قوتين، خارج قوتين : تمارين محلولة

تمارين محلولة حول القوى و خصائصها

ستة تمارين محلولة تتناول خاصيات القوى ذات الأس الموجب تتطلب منك لإنجازها أن تكون عارفا لخاصية جداء قوتين لهما نفس الأساس و خاصية قوة قوة و إشارة قوة أساسها سالب.

يمكنك الإستعانة بهذه الصفحة لتبيت مفهوم قوة عدد عشري نسبي ذات الأس الموجب و يمكنك الرجوع إلى هذا الدرس لتذكر خاصيات القوى.
تذكيـــــر :