إظهار الرسائل ذات التسميات id. إظهار كافة الرسائل
إظهار الرسائل ذات التسميات id. إظهار كافة الرسائل
النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b)=a²-b²)
المتطابقة الهامة الثالثة هي متساوية جبرية يتضمن أحد طرفيها جداء صيغتين مترافقتين (a - b )( a + b ) و الطرف الأخر يتضمن فرق مربعين a² - b² و تستعمل لتيسير العمليات الحسابية والنشر والتعميل.
في هذا الدرس تدريب على طريقة النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة رقم 3 مسبوق بتذكير و أمثلة و مرفوق بتمارين محوسبة و أخرى محلولة أو للإنجاز الفردي :
في هذا الدرس تدريب على طريقة النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة رقم 3 مسبوق بتذكير و أمثلة و مرفوق بتمارين محوسبة و أخرى محلولة أو للإنجاز الفردي :
معلومات أساسية :
1 - التعرف على المتطابقة : a - b )( a + b ) = a² - b² )
يمكن أن نبرهن على صحة هذه المتساوية كالتالي :
جبريا :
سنقوم بنشر الطرف الأيسر من المتساوية (a - b)(a + b) و نتصرف هكذا :
سنقوم بنشر الطرف الأيسر من المتساوية (a - b)(a + b) و نتصرف هكذا :
(a - b)(a + b) = a×a + a×b - b×a - b×b
= a² + ab - ba - b²
= a² + ab - ab - b²
= a² - b²
(a - b)(a + b) = a² - b²
هندسيا :
S = (a - b)(a + b) + ab + b²
أو :
S = a² + b² + b(a - b)
= a² + b² + ab - b²
= a² + ab
ومنه :
(a - b)(a + b ) + ab + b² = a² + ab
(a - b)(a + b ) + b² = a²
(a - b)(a + b ) = a² - b²
(a - b)(a + b) = a² - b²
البرمجية التالية تشرح نفس الطريقة بكيفية أخرى : يمكنك إيقاف العرض و تتبع المراحل بإستعمال النقطة P قم بمسك وسحب P نحو الأسفل :
(x - 6)(x + 6) = x² - 6² = x² - 36
(2x + 7)(2x - 7) = (2x)² - 7² = 4x² - 49
y² - 81 = y² - 9² = (y - 9)(y + 9)
9 - 16y² = 3² - (4y)² = (3 - 4y)(3 + 4y)
2 - تدريب على المتطابقة : a - b )( a + b ) = a² - b² )
أتمم ملأ الجدول التالي :
النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b)=a²-b²)
1- النشر بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)
عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من (a - b)(a + b) ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى a² - b² ) نقول أننا نشرنا المتطابقة :
تمرين : أنشر و بسط مايلي
(A= (x - 11)(x + 11) C = (5x - 1)(5x + 1) B = (3 - z)(3 + z
الحل :(A= (x - 11)(x + 11) C = (5x - 1)(5x + 1) B = (3 - z)(3 + z
(C = (3 - z)(z + 3
|
(B = (5x - 1)(5x + 1
|
(A= (x - 11)(x + 11
|
C = 3² - z²
C = 9 - z²
|
B = (5y)² - 1²
B = 25x² - 1
|
A = x² - 11²
A = x² - 121
|
تمارين إضافية :
2- التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة a+b)(a-b) = a² - b²)
عندما ننتقل من الطرف الأيسر من المتساوية (من a² - b² ) إلى الطرف الأيمن منها ( إلى (a - b)(a + b) ) نقول أننا عملنا المتطابقة :
تمرين : عمل مايلي
9 - ²(1 - A= x² - 25 B = 9y² - 64 C = (2x
الحل :9 - ²(1 - A= x² - 25 B = 9y² - 64 C = (2x
C = (2x -1)² - 9
|
B = 9y² - 64
|
A= x² - 25
|
C = (2x -1)² - 3²
(C = (2x - 1 - 3)(2x - 1 + 3
(2 + C = (2x - 4)(2x
|
B = (3y)² - 8²
(B = (3y - 8)(3y + 8
|
A = x² - 5²
(A = (x - 5)(x + 5
|
تمارين و حلول حول النشر و التعميل
النشر و التعميل من التقنيات الواجب التمرن عليها و إتقانها، حيث أن العمل على حسن إنجازها بالشكل المطلوب و الصحيح سيفيدك في حل مجموعة من التمارين و المسائل في الرياضيات كالمعادلات و المتراجحات و ...
فيما يلي سلسلة من التمارين المتنوعة تتناول مختلف طرق النشر و التعميل لمستوى الإعدادي، من خلالها تختبر معلوماتك بخصوص هاتين التقنيتين. التمارين مرفقة بالحلول :
تذكير :
تذكير :
1 - تمارين محلولة حول النشر :
أ- النشر العادي بإستعمال : k(a+b) = ka + kb
تمرين 1 :
أنشر و بسط مايلي
(A= x(2x + 1) C = -4/3x(-6x + 9) B = 3x( -2x² + x - 1
الحل :أنشر و بسط مايلي
(A= x(2x + 1) C = -4/3x(-6x + 9) B = 3x( -2x² + x - 1
| (C = -4/3x(-6x + 9 | (B = 3x( -2x² + x - 1 | (A= x(2x + 1 |
| C =-4/3x.(-6x) + (-4/3x).9 C = -8x² - 12 x | B = 3x.(-2x²) + 3x.x - 3x.1 B = -6x² + 3x² - 3x | A = x.2x + x.1 A = 2x² + x |
ب- النشر المزدوج : a+b)(c+d) = ac + ad + bc +bd)
تمرين 2 :
أنشر و بسط مايلي
(F = (3x - 2)(x + 5) E = (x + 7)(x - 1) (D = (x + 2)(x + 1
الحل :أنشر و بسط مايلي
(F = (3x - 2)(x + 5) E = (x + 7)(x - 1) (D = (x + 2)(x + 1
| (F = (3x - 2)(x + 5 | (E = (x + 7)(x - 1 | (D = (x + 2)(x + 1 |
| F = 3x.x + 3x.5- 2.x- 2.5 F = 3x² + 15x - 2x- 10 10-F= 3x² + 13x | E = x.x - x.1 + 7.x - 7.1 E = x² - x + 7x- 7 7 - E = x² + 6x |
D = x.x + x.1+ 2.x + 2.1
D = x² + x + 2x+ 2D = x² + 3x+ 2 |
ج- النشر بإستعمال المتطابقات الهامة
تمرين 3 :
أنشر و بسط مايلي
²(G = (3x - 2)(3x + 2) H = (2x - 1)² I = (x + 2
الحل :أنشر و بسط مايلي
²(G = (3x - 2)(3x + 2) H = (2x - 1)² I = (x + 2
| ((G = (3x - 2)(3x + 2 | H = ( 2x - 1 )² | ²( I = ( x + 2 |
| G = (3x)² - 2² G = 9x² - 4 | H = (2x)²- 2.2x.1 + 1² H = 4x² - 4x + 1 |
I = x² + 2.x.2 + 2²
I = x² + 4x + 4 |
2 - تمارين محلولة حول التعميل :
أ- التعميل العادي بإستعمال : ( ka + kb = k( a + b
تمرين 4 :
عمل مايلي
A= 7x + 28 C = x² - 3x B = 6xy + 3x -12y
الحل :عمل مايلي
A= 7x + 28 C = x² - 3x B = 6xy + 3x -12y
| C = x² - 3x | B = 6xy + 3x -12y | A= 7x + 28 |
| C = x.x - 3.x (C = x(x - 3 | B = 3.2xy + 3.x - 3.4y (B = 3(2xy + x - 4y | A = 7.x + 7.4 (A = 7(x + 4 |
ب- التعميل على مرحلتين
تمرين 5 :
عمل مايلي
F = x² + x - (x+1) E = x² - 3x + 2 D = x² + 9x + 20
الحل :عمل مايلي
F = x² + x - (x+1) E = x² - 3x + 2 D = x² + 9x + 20
| (F = x² + x - (x+1 | E = x² - 3x + 2 | D = x² + 9x + 20 |
| (F = x.x + x.1- (x+1 (F = x(x + 1) - (x+1 (F= (x + 1)(x - 1 | E = x² - x - 2x + 2 (E = x(x-1) - 2(x-1 (E = (x - 1)(x -2 |
D = x² + 5x + 4x + 20
(D = x(x+5) + 4(x+5(D = (x +5)(x +4 |
ج- التعميل بإستعمال المتطابقات الهامة
تمرين 6 :
عمل مايلي
G = 49x² - 36 H = 25x² - 20x + 4 I = x² +10x + 25
الحل :عمل مايلي
G = 49x² - 36 H = 25x² - 20x + 4 I = x² +10x + 25
| (G = 49x² - 36 | H = 25x² - 20x + 4 | I = x² +10x + 25 |
| G = (7x)² - 6² (G = (7x - 6)(7x + 6 | H = (5x)²- 2.5x.2 + 2² H = (5x - 2)² |
I = x² + 2.x.5 + 5²
I = (x + 5)² |
3 - التعميل و النشر : تمارين لتقوية التعلمات
تمرين 7 :
نعطي : (E = (x - 3)(x+ 7) - (2x - 7)(x - 3
الحل : نعطي : (E = (x - 3)(x+ 7) - (2x - 7)(x - 3
1. أنشر و بسط E
2. عمل E
1°) E = [(x-3)(x+7)] – [(2x-7)(x-3)]
= [x² + 7x –3x –21]-[2x² - 6x –7x +21]
= [x² + 4x –21]-[2x²- 13x +21]
= x² +4x –21 –2x² +13x – 21
= - x² + 17x - 42
2°) E = (x - 3)[(x +7) – (2x – 7)]
= (x - 3)[x + 7 – 2x + 7]
= (x - 3)[- x + 14]
= (x - 3)(- x +14)
تمرين 8 :
نعطي : (F = ( 2x + 3)² + (2x + 3)( x- 1
الحل : نعطي : (F = ( 2x + 3)² + (2x + 3)( x- 1
1. أنشر و بسط F
2. عمل F
1°) F = [ ( 2x + 3 )² ] + [ ( 2x + 3 )( x –1) ]
F = [ ( 2x + 3 ) ( 2x + 3) ] + [ (2x + 3 ) ( x - 1 ) ]
F = [ 4x² + 6x + 6x + 9 ] + [ 2x² - 2x + 3x –3 ]
F = [ 4x² + 12x + 9 ] + [ 2x² + x –3 ]
F = 4x² + 12x + 9 + 2x² + x - 3
F = 6x² + 13x + 6
2°) F = ( 2x +3 ) (2x +3 ) + ( 2x +3 ) ( x – 1)
F = (2x + 3) [ ( 2x + 3 ) + ( x - 1 ) ]
F = ( 2x + 3 ) [ 2x + 3 + x – 1 ]
F = ( 2x + 3 )[ 3x + 2 ]
F = (2x + 3) ( 3x + 2 )
تمرين 9 : نعطي : C = (5x + 4)(2x + 3) + (2x + 3)²
الحل :
1. أنشر و بسط C
2. عمل C
1°) C = [ ( 5x + 4 ) ( 2x + 3 ) ] + [ (2x + 3 )² ]
= [ (5x + 4 ) ( 2x + 3 ) ] + [ (2x + 3) ( 2x + 3 )]
= [ 10x² + 15x + 8x +12 ] + [ 4x² +6x +6x + 9 ]
= [ 10x² + 23x + 12 ] + [ 4x² +12x +9 ]
= 10x² + 23x + 12 + 4x² + 12x + 9
= 14x² + 35x + 21
2°) C = ( 5x + 4) ( 2x + 3 ) + ( 2x + 3 ) (2x + 3)
= ( 2x + 3) [ ( 5x + 4 ) + ( 2x + 3) ]
= (2x + 3) [ 5x + 4 + 2x +3 ]
= ( 2x + 3 )[ 7x + 7 ]
= ( 2 x + 3 ) ( 7x + 7 )
= 7( 2 x + 3 ) ( x + 1 )
= [ (5x + 4 ) ( 2x + 3 ) ] + [ (2x + 3) ( 2x + 3 )]
= [ 10x² + 15x + 8x +12 ] + [ 4x² +6x +6x + 9 ]
= [ 10x² + 23x + 12 ] + [ 4x² +12x +9 ]
= 10x² + 23x + 12 + 4x² + 12x + 9
= 14x² + 35x + 21
2°) C = ( 5x + 4) ( 2x + 3 ) + ( 2x + 3 ) (2x + 3)
= ( 2x + 3) [ ( 5x + 4 ) + ( 2x + 3) ]
= (2x + 3) [ 5x + 4 + 2x +3 ]
= ( 2x + 3 )[ 7x + 7 ]
= ( 2 x + 3 ) ( 7x + 7 )
= 7( 2 x + 3 ) ( x + 1 )
تمارين إضافية + الحلول الكاملة
النشر و التعميل بإستعمال المتطابقة الهامة " a+b)²=a²+2ab+b²) "
المتطابقة الهامة رقم 1 هي متساوية تسهل عملية الحساب والنشر والتعميل، حيث أننا عندما نفكك مربع مجموع عددين a و b على شكل مجموع مربع العدد a و ضعف جداء العددين a و b، و مربع العدد b ، في هذه الحالة نقول أننا نشرنا المتطابقة الهامة. و إذا عكسنا الإتجاه نقول أننا عملنا المتطابقة الهامة. في هذا الدرس تدريب على طريقة النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة رقم 1 مرفوق بتذكير و أمثلة و تمارين محوسبة و أخرى محلولة أو للإنجاز الفردي :
بطاقة معلومات : النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة 1
قاعدة هامة :
a و b عددان نسبيان لدينا :
أمثلة تطبيقية :
1 - أنشر و بسط : A = ( x + 7 )² و B = ( 3y + 1 )²
2- عمل مايلي : C = h² + 10h + 25 و D = 4y² + 12y + 9
2- عمل مايلي : C = h² + 10h + 25 و D = 4y² + 12y + 9
- أنشر و أبسط A :
| b = 7 | a = x | A = ( x + 7 ) ² |
| أكتب على شكل : a² + 2.a.b + b² | A = x² + 2.x.7 + 7² | |
| أحسب و أبسط | A = x² + 14x + 49 | |
- أنشر و أبسط B :
| b = 1 | a = 3y | B = (3y + 1)² |
| أكتب على شكل : a² + 2.a.b + b² | B = (3y)² + 2.3y.1 + 1² | |
| أحسب و أبسط | B = x² + 6y + 1 | |
- أعمــــل C :
| أبحث عن المربع الأول و المربع الثاني (لون برتقالي) | C = h² + 10h + 25 |
| أشكل مربعين مع : a = h ; b = 5 | C = h² + 10h + 5² |
| أتأكد من صحة ضعف جداء العددين : 10h = 2×h×5 | C = h² + 2×h×5 + 5² |
| أكتب على شكل مربع مجموع : a + b)²) | C = ( h + 5 )² |
- أعمــــل D :
| أبحث عن المربع الأول و المربع الثاني (لون برتقالي) | D = 4y² + 12y + 9 |
| أشكل مربعين مع : a = 2y ; b = 3 | D = (2y)² + 12y + 3² |
| أتأكد من صحة ضعف جداء العددين : 2.2y.3 = 12y | D = (2y)² + 2×2y×3 + 3² |
| أكتب على شكل مربع مجموع : a + b)²) | D = ( 2y + 3 )² |
تدريبات على النشر و التعميل بواسطة المتطابقة الهامة رقم 1 :
تمارين للإنجاز الفردي :
النشر بواسطة المتطابقة الهامة رقم 1
هذا الدرس يتناول طريقة نشر مربع مجموع حيث انك ستتعلم طريقة النشر بواسطة المتطابقة الهامة رقم 1 من خلال التعرف على أجزاءها في مرحلة اولى ثم القيام بنشرها او كتابتها على شكل مجموع في مرحلة ثانية.
التعرف على أجزاء المتطابقة الهامة رقم 1
 |
| أجزاء المتطابقة الهامة رقم 1 |
مربع المجموع هو : x + 3 )² )
العدد الأول هو : x
العدد الثاني هو : 3
مربع العدد الأول هو : x²
ضعف جداء العددين هو : 6x
مربع العدد الثاني هو : 9
النشر بواسطة المتطابقة الهامة رقم 1
لنشر مربع مجموع (النشر بواسطة المتطابقة الهامة رقم 1) نتبع المراحل التالية :- نحدد العدد الأول و العدد الثاني
- نحسب مربع العدد الأول
- نحسب ضعف جداء العددين
- نحسب مربع العدد الثاني
- نجمع نواتج المراحل 2 و 3 و 4
مثال : نريد أن ننشر مثلا 2y + 5 )² )
- العدد الأول = 2y و العدد الثاني = 5
- نحسب مربع العدد الأول : 2y)² = 2² x y² = 4y²)
- نحسب ضعف جداء العددين : x 2 x 2y x 5 = 20y
- نحسب مربع العدد الثاني : 25 = 5²
- نجمع نواتج المراحل 2 و 3 و 4 : 2y + 5 )² = 4y² + 20y + 25)
تمارين تفاعلية
المتطابقة الهامة : a-b)(a+b) = a² -b²) فرق مربعين
في هذا الدرس نتناول المتطابقة الهامة رقم 3 و التي تعرف بجداء صيغتنين مترافقتين ,سنتعرف عليها هندسيا و جبريا و سنقوم بإستخراج القاعدة التي تمكننا من نشر جداء صيغتنين مترافقتين و تعميل مجموع جبري.
طريقة 1 : نجمع المساحتين بالكيفية التالية
جبريا : يمكن أن ننشر الجداء (a - b)(a + b):
(يمكنك مراجعة النشر المزدوج على هذه الصفحة)
المتساوية a -b)(a +b) = a² - b²) هي متطابقة هامة حيث أن طرفها الأيسر عبارة عن "جداء صيغتنين مترافقتين" و طرفها الأيمن عبارة عن" فرق مربعين".
التعرف على جداء صيغتنين مترافقتين
تمرين : نريد حساب مساحة شبهي المنحرف التاليين بطريقتين مختلفتين
A = a² - b²
طريقة 2 : أو بالكيفية التالية
(A = (a -b)(a +b
S نستنتج إذن أن :a -b)(a +b) = a² - b²)
جبريا : يمكن أن ننشر الجداء (a - b)(a + b):
(يمكنك مراجعة النشر المزدوج على هذه الصفحة)
= (a - b)(a + b)
a = a² - ab + ba + b²)
a+b)² = a² - b²)
- عندما ننتقل من الطرف الأيسر لهذه المتطابقة إلى الطرف الأيمن نقول أننا نشرنا الجداء.
- عندما ننتقل من الطرف الأيمن لهذه المتطابقة إلى الطرف الأيسر نقول أننا عملنا الفرق
تطبيق : تمرين تفاعلي
إتمام أجزاء المتطابقة الهامة
المتطابقة الهامة : a - b)² = a² - 2ab +b²) مربع فرق
في هذا الدرس نتناول المتطابقة الهامة رقم 2 و التي تعرف بمربع فرق ,سنتعرف عليها هندسيا و جبريا و سنقوم بإستخراج القاعدة التي تمكننا من نشر مربع فرق و تعميل مجموع جبري.
طريقة 1 : نعلم أن مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه
طول ضلع هذا المربع بلون أزرق هو a - b, إذن مساحته هي : S = (a - b)²
طريقة 2 :(مساحة المستطيل بلون أزرق = مساحة المربع - مجموع المساحتين بلون أصفر و المساحة بلون أخضر)
نستنتج إذن أن : a - b)² = a² - 2ab + b²)
جبريا : يمكن أن نكتب المربع a - b)²) على شكل (a - b)(a - b) ثم نقوم بعملية النشر المزدوج :
(يمكنك مراجعة النشر المزدوج على هذه الصفحة)
المتساوية a - b)² = a² - 2ab + b²) هي متطابقة هامة حيث أن طرفها الأيسر عبارة عن "مربع فرق" و طرفها الأيمن عبارة عن" مجموع".
التعرف على مربع فرق
تمرين : أحسب مساحة المربع بلون أزرق بطريقتين مختلفتينطريقة 1 : نعلم أن مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه
طول ضلع هذا المربع بلون أزرق هو a - b, إذن مساحته هي : S = (a - b)²
طريقة 2 :(مساحة المستطيل بلون أزرق = مساحة المربع - مجموع المساحتين بلون أصفر و المساحة بلون أخضر)
[S = a² -[ b(a-b) + b(a-b) + b²
[S(ABCD) = a² -[ ba -b² + ba -b² + b²
[S(ABCD) = a² -[ 2ab - b²
S(ABCD) = a² - 2ab + b²نستنتج إذن أن : a - b)² = a² - 2ab + b²)
(يمكنك مراجعة النشر المزدوج على هذه الصفحة)
(a-b)² = (a - b)(a - b)
a+b)² = a² - ab - ba + b²)
a+b)² = a² - 2ab + b²)
- عندما ننتقل من الطرف الأيسر لهذه المتطابقة إلى الطرف الأيمن نقول أننا نشرنا الجداء.
- عندما ننتقل من الطرف الأيمن لهذه المتطابقة إلى الطرف الأيسر نقول أننا عملنا الفرق
تطبيق : تمرين تفاعلي
إتمام أجزاء المتطابقة الهامة
المتطابقة الهامة a+b)² = a²+2ab+b²) : ( مربع مجموع )
المتطابقات الهامة هي متساويات تسهل عملية الحساب والنشر والتعميل، في هذا الدرس نتناول المتطابقة الهامة رقم 1 و التي تعرف بمربع مجموع و سنتعرف عليها هندسيا و جبريا و سنقوم بإستخراج القاعدة التي تمكننا من نشر مربع مجموع و تعميل مجموع جبري.
طريقة 1 : نعلم أن مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه
طول ضلع هذا المربع هو a + b, إذن مساحته هي : S(ABCD) = (a + b)²
طريقة 2 : نجزئ المربع إلى مستطيلين و مربعين كما هو مبين في الشكب ثم نحسب مجموع المساحات الجزئية و سيكون لدينا :
(يمكنك مراجعة النشر المزدوج على هذه الصفحة)
المتساوية a + b)² = a² + 2ab + b²) هي متطابقة هامة حيث أن طرفها الأيسر عبارة عن عن "مربع مجموع" و طرفها الأيمن عبارة عن" مجموع".
التعرف على مربع مجموع
تمرين : أحسب بطريقتين مختلفتين مساحة المربع ABCD |
| المربع ABCD |
طريقة 1 : نعلم أن مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه
طول ضلع هذا المربع هو a + b, إذن مساحته هي : S(ABCD) = (a + b)²
طريقة 2 : نجزئ المربع إلى مستطيلين و مربعين كما هو مبين في الشكب ثم نحسب مجموع المساحات الجزئية و سيكون لدينا :
S(ABCD) = a² + ab + ab + b²
S(ABCD) = a² + 2ab + b²
نستنتج إذن أن : a + b)² = a² + 2ab + b²)(يمكنك مراجعة النشر المزدوج على هذه الصفحة)
(a+b)² = (a + b)(a + b)
a+b)² = a² + ab + ba + b²)
a+b)² = a² + 2ab + b²)
- عندما ننتقل من الطرف الأيسر لهذه المتطابقة إلى الطرف الأيمن ( أي عندما نفكك مربع المجموع إلى مجموع من ثلاثة حدود ) نقول أننا نشرنا المتطابقة.
- عندما ننتقل من الطرف الأيمن لهذه المتطابقة إلى الطرف الأيسر ( أي عندما نجمع المستطيلين و المربعين على شكل مربع مجموع ) نقول أننا عملنا المتطابقة.
تطبيقات : تمارين تفاعلية
1- إقران مجموع جبري بمربع مجموع
2- إتمام أجزاء المتطابقة الهامة
3- حساب ذهني : مربع عدد بجوار 100
المطلوب في هذا التمرين حساب مربع عدد بجوار 100 ذهنيا بإستعمال المتطابقة الهامة :101² = (100 + 1)² = 100² + 2.100.1 + 1² = 10000 + 200 + 1 = 10201 : مثال
الاشتراك في:
الرسائل (Atom)