كيف نجمع و نطرح الأعداد السالبة و الموجبة

هذا الدرس يتناول كيفية حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين و يستعرض القواعد التي تنظم حساب  الأعداد السالبة و الموجبة.

العدد الصحيح النسبي يمكن أن يكون موجبا أو سالبا :
الأعداد الموجبة هي : 1،0، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، ... وهي في حقيقة الأمر تكتب على الشكل التالي :

... (4+) = 4 ; (3+) = 3 ; (2+) = 2 ; (1+) = 1

الأعداد السالبة هي : 0، 1-، 2-، 3-، 4-، 5-، 6-، 7-، 8-، ...  و نكتبها أيضا على شكل :
                                                    ... (4-) = 4- ; (3-) = 3- ; (2-) = 2- ; (1-) = 1-
أنظر إلى الصورة كيف نرتب هذه الأعداد على المستقيم المدرج:

ملاحظتين :
1. نستعمل الأقواس في الأعداد الموجبة و السالبة لتمييز الأعداد عن بعضها.
2.الصفر هو عدد موجب و سالب في نفس الوقت.

كيف نحسب مجموع عددين صحيحين نسبيين ؟

سنستعين بتقنيتين (أو طريقتين) لفهم الأمر :

طريقة 1 : بإستعمال أقراص من لونين مختلفين ( البرتقالي و الأخضر على الصور ) يتوسط أحدهما إشارة ''+'' و الأخر إشارة ''-'' نرمي بي هذه الأقراص حسب الطلب في علبة ، ثم نزيل في كل مرة قرصين من لونين مختلفين ( لا يمكن إزالة قرصين من نفس اللون).  المجموع سيكو ن بعدد و بلون الأقراص المتبقية في العلبة، مثلا إذا كان عدد الأقراص المتبقية هو '' ثلاثة أقرص برتقالية'' فالمجموع سيكون هو 3+ أما إذا كان '' خمسة أقرص خضراء'' فالمجموع هو 5-... لنرى ماذا سيحدث:

أ – مجموع عددين صحيحين نسبيين لهما نفس الإشارة 

لنفرض أننا رمينا ب 8 أقراص برتقالية و 6 أخرى أيضا برتقالية :

في هذه الحالة لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون و بالتالي المحموع هو 14.
نكتب :  14 = 6 + 8 أو 14+ = (6+) + (8+)
 8 أقراص خضراء و 6 خضراء:

 في هذه الحالة أيضا لا يمكننا إزالة أي قرص بحكم أن جميعها من نفس اللون و بالتالي المحموع هو 14-.
نكتب :   14- = (6-) + (8-)
ب – مجموع عددين صحيحين نسبيين مختلفي الإشارة 
 8 أقراص برتقالية و 6 خضراء:

الأقراص المتبقية : ''قرصين برتقاليين'' و بالتالي المجموع هو 2+
نكتب :  2 = 6 + (8-) أو 2+ = (6-) + (8+)

 8 أقراص خضراء و 6 برتقالية:

الأقراص المتبقية : "قرصين خضروين" و بالتالي المجموع هو 2-
نكتب :  2- = 6 + (8-) أو 2+ = (6+) + (8-) .
طريقة المستقيم المدرج :

9 = 3 + 6

9 - =  (3-) + (6-) 

 3 =  (3-) + 6 

3- = 3 + (6-)

خلاصة :

ملاحظة : لطرح عدد صحيح نسبي من أخر نضيف إلى العدد الثاني مقابل العدد الأول.

لكن ...كيف ذلك؟

لفهم هذا الأمر، إقترح الوالدان على بنتهما الوحيدة إيمان ما يلي :
" إذا كانت إيمان لطيفة و مطيعة تحصل على 3 نقط (3+)، أما إذا كانت شقية وغير مطيعة تخصم لها 3 نقط (3-) . إذا حصلت على مجموع 30 من النقط تحصل على مكافأة من أبويها"

بدأت إيما ن يومها بشكل جيد و حصلت في الصباح على 9 نقط منحتها إياها الأم . في المساء و بحضور الأب أثناء تناول وجبة العشاء رأت الأم أن إيمان سكبت قليل من الحليب على المائدة و قامت بخصم ثلاثة نقط من التسعة ( أضافت إلى المجموع (3-) ) التى منحتها في الصباح وقامت بالحساب التالي:

6 = 3 - 9 = (3-) + 9    

إعترض الأب بقوة على الأمر وفسر ما قامت به إيمان على أنه تصرف عادي و طلب من الأم خصم (3-) التي أضافتها إلى المجموع.
راجعت الأم الحساب و قامت بكتابة ما يلي :

9 = 3 + 6 = (3-) - 6

و فازت إيمان في اليوم الأول ب 9 نقط

خلاصة : لطرح (3-) من 6 ، نضيف إلى 6 مقابل (3-). و بالتالي الكتابتين (3-) - 6 و  3 + 6 لهما نفس المعنى، أي أن :

                                                            9 = 3 + 6 = (3-) - 6.

و ماذا عن هاتين الكتابتين؟

? (3-) +6 

? (3+) - 6

في الحقيقة : (3+) - 6  =  (3-) +6

أمثلة :

 طريقة ثالثة بالإضافة إلى القواعد التي تنظم حساب مجموع وفرق عددين صحيحين نسبيين على صفحة : جمع وطرح الأعداد الصحيحة النسبية.