المستقيمات الهامة في المثلث : واسطات مثلث

في هذا الدرس نذكر بتعريف واسط قطعة و نستعرض أهم خاصياته، نتعرف على واسطات مثلث و نتظنن قاعدة متعلقة بذلك. في الأخير نوظف هذه القاعدة في حل مسألة هندسية عن طريق البرهان :

1) واسط قطعة - واسط مثلث :

أ) تعريف واسط قطعة (تذكير) :

     واسط قطعة هو المستقيم المارمن منتصفها و العمودي على حاملها.

نسمي (AH) إرتفاع المثلث ABC االموافق للضلع [BC] .
ب) خاصيات واسط قطعة (تذكير) :

          خاصيات :

1. كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيها.
2. كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة تنتمي إلى واسط هذه القطعة.
3. واسط قطعة هو مجموعة النقط المتساوية المسافة عن طرفيها.

ج) تعريف واسط مثلث :

     واسط مثلث هو واسط أحد اضلاعـــه.

2) واسطات مثلث

أ- نشاط تمهيدي

المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة تتعلق بواسطات مثلث :

1.  بإستعمال الأداة أنشئ مثلث ABC
2. بإستعمال الأداة أنشئ  واسطات المثلث ABC
3. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
4. تظنن قاعدة متعلقة  بواسطات  المثلث.
5. بإستعمال الأداة أنشئ  الدائرة التي مركزها نقطة تلاقي الواسطات وتمر من A. ماذا تلاحـــــظ ؟
6. تظنن قاعدة متعلقة  بهذه الدائرة

Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture          

ب) خاصية  :

واسطات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث.

ج) تمرين تطبيقي :

              نص التمرين :
A وB وC ثلاث نقط من دائرة مركزها O.
(d) المستقيم المارمن O و العمودي على (BC) في النقطة 'A.

1. انشئ الشكل.
2. برهن أن 'A هي منتصف [BC].
3. ماذا يمثل المستقيم (d) بالنسبة للمثلث OBC ؟

الشــــكل + البرهان :

المعطيات :

• دائرة مركزها O تحيط بالمثلث ABC.
• (d) يمر من O و عمودي على (BC) في النقطة 'A.

المطلوب : نبرهن أن 'A هي منتصف [BC]

نص البرهان :
2-
A وB وC ثلاث نقط من دائرة مركزها O يعني أن : الدائرة التي مركزها O هي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
أي أن : O هو نقطة تلاقي واسطات المثلث ABC.
بمأن (d) يمر من O و عمودي على (BC) نستنتج أن : (d) واسط للضلع [BC]
أي أن : (d) يقطع [BC] في المنتصف
وبالتالي : 'A منتصف [BC].
3-
المستقيم (d) يمر من رأس المثلث OBC و عمودي على [BC] في منتصفه إذن يمكن إعتباره :

• إرتفاعا المثلث OBC : لأنه مار من أحد رؤوس المثلث و عمودي على حامل الضلع المقابل.
• واسطا في المثلث OBC : لانه واسط أحد أضلاعه (واسط [BC])
• متوسطا في المثلث OBC : لانه مار من أحد رؤوس المثلث و منتصف الضلع المقابل.
• منصفا للمثلث OBC : ينصف الزاوية BÔC إلى زاويتين لهما نفس القياس.