خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني

بعد أن تعرفنا على خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعي مثلث نتابع هذه المرة مع خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني : سنخمن قاعدة و نبرهن على صحتها ، ثم نعمم النتيجة على جميع المستقيمات التي تمر من منتصف أحد الأضلاع في مثلث و توازي حامل الضلع الثالث :

المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني :

أ - نشاط تمهيدي :

المطلوب منك في هذا النشاط إنشاءا هندسيا من خلاله تكتشف و تخمن قاعدة للمستقيم  المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني :

1.  بإستعمال الأداة  أنشئ مثلث ABC
2. بإستعمال الأداة أنشئ  منتصف الضلع [AB].
3. بإستعمال الأداة أنشئ المستقيم المار من منتصف [AB] و الموازي للمستقيم (BC).
4. قم بتحريك رؤوس المثلث ABC و غير من أطوال أضلاعـــه. ماذا تلاحـــظ ؟
5. خمن قاعدة متعلقة بالمثلث و المستقيم المار من منتصف أحد أضلاعه و الموازي لحامل الضلع الثاني :

معاينة طريقة الإنشاء :

Cliquer ici pour voir la construction et pour faire une conjecture  

ب - البرهان على القاعدة :

المعطيات :

• ABC مثلث.
• I منتصف الضلع [AB].
• (D) يمر من I و يوازي (BC) و يقطع [AC] في J. 

المطلوب : نتبث أن J منتصف  [AC].
البرهان :

• نفرض أن H  هو المسقط العمودي للنقطة C على المستقيم  (AB) :
  

 إذن [CH] إرتفاع في المثلثين CBA و CBI.
و منه :  2 ÷  (S(CAB) = (CH × AB  و2 ÷ (S(CBI) = (CH × IB      (المساحة : S)
بمأن : AB = 2IB (لأن I منتصف [AB]) فإن : (S(CBI) = 1/2 × S(CAB      علاقة 1

•  نفرض أن M  و N  هما المسقطين العموديين ل I و J على المستقيم (BC) على التوالي :
  

لدينا المستقيم (IJ) يوازي حامل الضلع [BC] إذن سيكون للمثلثين CBI وCBJ قاعدة مشتركة هي الضلع [BC] و إرتفاعان [IM] و [JN]  لهما نفس الطول ( الرباعي IJNM سيكون عبارة عن مستطيل ).
                                     و هذا يعني أن :        (S(CBI) = S(CBJ              علاقة 2

من خلال العلاقتين 1 و 2 نستنتج أن : (S(CBJ) = 1/2 × S(CAB
مساحة المثلث CAB هي ضعف مساحة المثلث CBJ  والنقط A و J و C مستقيميية إذن :
AC = 2CJ و منه J منتصف  [AC].

ج - بصفة عامة :

                خاصية :

المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني يقطع الضلع الثالث في منتصفه..

بتعبير أخـــر :

ABC مثلث 

إذا كان : I منتصف [AB] و (d) // (BC)  فإن : (d) يقطع [AC] في منتصفها J. 

د - تمرين تطبيقي :

              نص التمرين :
ABCD متوازي الأضلاع مركزه O  و M منتصف [AD].
المستقيم (OM) يقطع [BC] في النقطة N .

1. أنشئ الشكـــــل
2. أثبت أن N منتصف [BC] .

الشكل + البرهان :