المعادلات و التعميل : معادلة الجداء المنعدم

المعادلة عبارة عن متساوية تتكون من مجهول واحد أو أكثر و مقادير ثابتة. فمثلا المقدار 2x² - x  لا يعتبر معادلة لعدم وجود علامة المساواة و لكن 2x² - x = 0 يعتبر معادلة. هذه الأخيرة ليست بمعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد كما رأينا في الدرس الثاني و الثالث و الرابع و إنما هي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ( لاحـــظ أن الحد 2x² مرفوع إلى الدرجة 2).

في الدرس الخامس سنتعرف على طريقة حل هذا النوع من المعادلات حيث سنستعمل تقنية التعميل لتؤويلها على شكل معادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد :

قاعدتان هامتان :

1)- قاعدة التعميل :

التعميل هو تقنية لمفهوم رياضي نستعملها كي نكتب مجموع على شكل جداء ونعتمد المتطابقات الهامة و القاعدة الأساسية التالية:

                 قاعــــدة :              a و b و k أعداد جذرية :

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

(a² - b² = (a - b)(a + b

أمثلة :

3x + 6y = 3.x + 3.2y = 3(x + 2y)

(x + 3)² + (2 + x)(x + 3) =  (x + 3)(x + 3) + (2 + x)(x + 3)

                          =  (x + 3)(x + 3 + 2 + x)
                          =  (x + 3)(2x + 5)

2)- قاعدة الجداء المنعدم :

                قاعـــدة : يكون جداء منعدما إذا كان أحد عوامله منعدما :

 A×B = 0 => A = 0 أو  B = 0

أمثلة :

(x + 3)(2x + 5) = 0 => x + 3 = 0 ou  2x + 5 = 0

2x² - x = 0 => x(2x - 1) = 0 => x = 0 ou 2x - 1 = 0

معادلات خاصة :

المعادلة : x² = a

هذه المعادلة ليست من الدرجة الأولى بمجهول واحد، طبعا طريقة حلها ستختلف قليلا -("سنستعمل تقنية التعميل")- وكي نحلها سننظر إلى الحالات التي يمكن أن يكون عليها a  حيث يمكن أن يكون a سالبا قطعا أو مساويا ل 0 أو موجب قطعا . تحديد حلول هذه المعادلة سيكون وفق الحالات  :

**1//  إذا كان a < 0 فإن المعادلة السابقة لا حل لها (مربع عدد لا يمكن أن يكون سالبا)

**2//  إذا كان a = 0 فإن المعادلة السابقة تصبح x² = 0 أي أن x = 0 ( للمعادلة حل وحيد هو 0)

**3//  إذا كان a > 0 فإن :

في هذه الحالة يكون للمعادلة حلين .

مثال : حل المعادلتين  3x² = 75 و 2x² = -8 

الحل :

3x²  = 75 => x²  = 75/3 => x²  = 25  => x  = 5 ou x = -5

للمعادلة حلين هما 5 و 5-.

2x²  = -8 => x²  = -8/2 => x²  = -4

هذه المعادلة لاحل لها لأن 4- عدد سالب.

المعادلة :  0 = (ax + b)(cx + d)

و تعرف بمعادلة الجداء المنعدم حيث يتضمن طرفها الأيسرجداء التعبيرين ax + b  و cx + d و طرفها الأيمن يحتوي 0. حل مثل هذا النوع من المعادلات سيكون يسيرا لأنه بتطبيق قاعدة الجداء المنعدم الواردة أعلاه سنكون بصدد حل معادلتين بسيطتين من الدرجة الأولى بمجهول واحد و هما  0 =  ax + b و 0 = cx + d.

مثال : حل المعادلة  3x - 9)(2x + 5) = 0)

(3x - 9)(2x + 5) = 0 => 3x - 9 = 0 ou  2x + 5 = 0 

                     => 3x = 9  ou  2x = -5 

                     => x = 9/3 ou  x = -5/2

                     => x = 3 ou  x  = -2.5

للمعادلة حلين هما 3 و 2.5-

أمثلة لمعادلات محوسبة :
في البرمجية التالية يمكنك معاينة و تتبع إنجازحل مجموعة من المعادلات، ضع علامة صح في المربع الصغير تعرف على حل المعادلة التي أمامك ثم أطلب معادلة جديدة :

تمرين محلول :

               تمرين :

                                  نضع : (5 + E = x² + 10x + 25 - (3x + 3)(x  
 1). عمل x² + 10x + 25
 2). إسنتنج تعميلا ل E
 3). حـــل المعادلة E = 0

الحــــل :

1). x² + 10x + 25 = x² + 2.x.5 +5² = (x + 5)²    متطابقة هامة رقم 1

2). E = x² + 10x +25 - (3x + 3)(x + 5)

      = (x + 5)² - (3x + 3)(x + 5)

      = (x + 5)[ (x + 5) - (3x + 3)]

      = (x + 5)[ x + 5 - 3x - 3]

      = (x + 5)( -2x + 2)

3). E = 0

    => x² - 10x +25 - (3x + 3)(x+5)= 0

    => (x + 5)( -2x + 2) = 0

    => x + 5 = 0  ou  -2x + 2 = 0

    => x = -5 ou  -2x = -2 

    => x = -5 ou  x = 1

للمعادلــــة حلين هما 1 و 5-