الموشور القائم : وصفه حجمه و مساحته الجانبية و الكلية

الموشور القائم هو مجسم يتشكل من قاعدتين متوازيتين و قابلتين للتطابق، وله احرف جانبية متقايسة كل منها يعتبر ارتفاع في الموشور القائم وله أوجه جانبية على شكل مستطيلات وهو أنواع منها : الموشور القائم الذي قاعدته مثلث والموشور القائم قاعدته مستطيل، الموشور القائم قاعدته مربع وهناك موشور قائم قاعدته مضلع خماسي أو سداسي ....إلخ.

الموشور القائم : و صف + تعريف.

الموشور القائم هو مجسم يتكون من :

1. وجهين متوازيين قابلين للتطابق هما : قاعدتان الموشور القائم .
2. أحرف جانبية متقايسة هي : ارتفاع الموشور القائم .
3. أوجه جانبية و هي على شكل : مستطيلات .

ملاحظات هامة :

• عدد الأوجه الجانبية لموشور قائم يساوي عدد أضلاع قاعدته .
• قاعدتا الموشور القائم إما أن تكونا على شكل مثلث أو مربع أو مستطيل أو مضلع رباعي أو مضلع خماسي ..........
• إذا كانت قاعدتا الموشور القائم عبارة عن مستطيلين فإن هذا الموشور يسمى متوازي المستطيلات.

• إذا كانت قاعدتا الموشور القائم عبارة عن مربع و كان الإرتفاع مساوي لطول حرف في المربع فإن هذا الموشور يسمى مكعب.

حجم الموشور القائم :

حجم الموشور القائم هو الحيز الذي يشغله هذا المجسم في الفضاء و نرمز له بالرمز V. و لحساب حجم أي موشور قائم نضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه ، حيث القاعدة قد تكون عبارة عن مثلث أو مربع أو مستطيل أو خماسي......

حجم الموشور القائم = مساحة قاعدته × ارتفاعه
V  = b ×  h

مثال :
أسفله لدينا موشور قائم قاعدته عبارة عن مثلث قائم الزاوية . جد حجمه .

موشور قائم قاعدته  مثلث قائم الزاوية

الحل : 
حجم الموشور = مساحة قاعدته × ارتفاعه
القاعدة هنا عبارة عن مثلث قائم الزاوية إذن :  b = ( 5 × 12 ) ÷ 2 = 30  => b = 30cm²
أي أن :    V  = b ×  h = 30 × 10 = 300 => V = 300 cm3

مثال أخر :

باب من الخشب ارتفاعه 2 متر ، وعرضه 1 متر ، وسماكة الخشب المصنوع منه = 5 ستنمتر . بفرض أن الباب منتظم وعلى شكل متوازي مستطيلات ، فالمطلوب حساب حجم مادة الخشب التي صنع منها الباب .

الحل : 

متوازي المستطيلات هو موشور قائم بقاعدة مستطيلة الشكل ( مساحة المستطيل= جداء بعيديه )

حجم الباب = ارتفاعه × عرضه × سماكته = حجم الخشب المصنوع منه .

لاحظ هنا أن الأبعاد مختلفة في وحداتها فاثنان منها مقاسان بالمتر والثالث بالسنتمتر ، إذن عند حساب الحجم يجب جعل الوحدات كلها متشابهة .  5cm = 0.05m

V = 2 × 1 × 0.05 = 0.1m3

للتفكير :

 لو كان لدينا قطعة خشب على شكل متوازي مستطيلات أبعادها 2م × 1م × 1م ، فكم باباً من النوع المذكور في السؤال نستطيع أن نعمل منها بفرض أنه لن يضيع منها أي شيء أثناء عمليات القص والتشكيل .

المساحة الجانبية و الكلية للموشور القائم

للموشور القائم كما عرفنا قاعدتان وعدد من الأوجه يعتمد على شكل القاعدة ، فالموشورالقائم الثلاثي له ثلاثة أوجه مستطيلة (بالاضافة إلى قاعدتيه) ومتوازي المستطيلات له أربعة أوجه مستطيلة (بالاضافة إلى قاعدتيه وهما مستطيلتان ) والموشور القائم السداسي له ستة أوجه مستطيلة ....... إلخ.

كثيراً ما يطلب منا حساب مساحة هذه الأوجه مع أو بدون القاعدتين، ولذلك سنميز بين حالتين :

      قاعدة:

• مساحة سطح الموشور القائم الجانبية : هي مجموع مساحة أوجه الموشورالمستطيلة دون القاعدتين .
• مساحة سطح الموشور القائم الكلية : هي مجموع مساحة أوجه الموشور المستطيلة + مساحة القاعدتين .

المثال التالي يوضح ذلك :

مثال  : علبة من الورق المقوى على شكل موشور ثلاثي قائم أبعاده كما في الشكل :

AB = 3cm  ;;    AC = 4cm   ;;     BC= 5cm     ;;   BB'= 7cm

علبة من الورق المقوى على شكل موشور ثلاثي قائم

المطلوب :

أ‌ -  حساب مساحة الموشورالجانبية .

ب‌- حساب مساحة سطح الموشور الكلية .

الحـــل :

  أ -  جوانب هذا الموشور عبارة عن ثلاث مستطيلات :

• المستطيل'ABB'A ومساحته هي = الطول × العرض =>  S(ABB'A') = 3 × 7 = 21 cm² 
• المستطيل'AِCC'A ومساحته هي = الطول × العرض => S(AِCC'A') = 4 × 7 = 28 cm² .
• المستطيل BB'C'C ومساحته هي = الطول × العرض =>  S(BB'C'C) = 5 × 7 = 35 cm² 

إذن المساحة الجانبية لهذا الموشور القائم تكون هي مجموع المساحات الجزئية للجوانب و نكتب :

 84  = 21 + 28 + 35 = (S = S(ABB'A') + S(AِCC'A')  + S(BB'C'C

S = 84cm² 

ويمكن اختصار هذه الطريقة حيث يمكن اعتبار السطح الجانبي للموشور تحول إلى مستطيل طوله يساوي محيط قاعدة الموشور= 4 + 3 + 5 = 12سم وعرضه هو ارتفاع الموشور = 7 سم ،
حيث يمكن حساب المساحة الجانبية = 12 × 7 = 84 سم2 .

وتصبح مساحة الموشور القائم الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع الموشور .

 ب‌ - مساحة السطح الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين .

إن قاعدة المنشور هي عبارة عن مثلث قائم الزاوية و بالتالي :

S(ABC) = ( 3 × 4 ) ÷ 2 = 6cm²

أيضا لدينا :

S(A'B'C') = ( 3 × 4 ) ÷ 2 = 6cm²

إذن المساحة الكلية للموشور :

96 = 84 + 6 + 6 = S' = S(ABC) + S(A'B'C') + S

S' = 96cm²

وعموماً المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين = ( محيط القاعدة × الارتفاع ) + ( ضعف مساحة القاعدة ).