خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

في هذا الدرس سنتعرف على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية:
خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

خاصية منتصف وتر مثلث قائم الزاوية

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل جانبه لدينا :
ABC مثلث قائم الزاوية في A
I منتصف الوتر [BC]
                                                                               
قم بتحريك النقط A و B و I
ماذا تلاحـــــظ ؟
تظنن خاصية متعلقة بذلك

  
ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و I تبقى المسافات IA و IB و IC متساوية.
مظنـــونة : منتصف و تر مثلث قائم الزلوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوســـه.

2- البرهان على الخاصية :

          تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف الوتر [BC] و ليكن (d) و اسط القطعة [AC].
1. برهن أن (AB) // (d).
2. برهن أن النقطة I تنتمي إلى (d).
3. إستنتج أن IA = IB = IC.
الجــــــواب :
الشـــــكل + المعطيات
1- نبرهن أن  (AB) // (d) :

لدينا المثلث ABC قائم الزاوية في A إذن    : (AB) عمودي على  (AC)        (أ)
لدينا المستقيم (d) و اسط القطعة [AC] إذن : (d)    عمودي على   (AC)     (ب)
من (أ) و (ب) نستنتج أن (AB) // (d). (مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان)

2. نبرهن أن النقطة I تنتمي إلى (d) :

لدينا (d) يوازي (AB) و يمرمن منتصف القطعة  [BC] ( واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).
إذن (d) يقطع [BC] في منتصفها I (المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي للضلع الثاني يقطع الثالث في منتصفه).
ومنه  I تنتمي إلى (d).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصف أحد أضلاع مثلث و الموازي لحامل الضلع الثاني "

3- نستنتج أن IA = IB = IC :

I تنتمي إلى (d) تعني أن :   IA = IC      C            (ج)  ( كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيها )
I منتصف [BC] تعني أن :   IA = IB      B           (د)
من (ج) و (د) نستنتج أن  IA = IB = IC

3- خاصية هامة :

   إذا كان مثلث قائم الزاوية فإن منتصف وتره يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه.
بتعبير أخر :
   إذا كان ABC مثلث قائم الزاوية في A و I منتصف[BC]
 فإن : IA = IB = IC .

تمرين تطبيقي :

         تمرين :
ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث : ABC = 50°  و M منتصف [BC] .
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث AMB ؟ علل جوابك .
3 – استنتج قياس الزاوية MAB .
الحــــل :
1–
الشــــــكل
2 – طبيعة المثلث  AMB  :
          نعلم أن  :  ABC مثلث قائم الزاوية في A .
   و
          M منتصف الوتر [BC] .
  إذن  :  MA = MB = MC .   أي :  MA = MB .
   و منه فإن المثلث  AMB متساوي الساقين رأسه M .

3 – لنستنتج قياس الزاوية   MAB  :
         نعلم أن :    AMB مثلث متساوي الساقين في E .
             إذن  :    زاويتا القاعدة متقايستين MAB = MBA
       و بما أن :   MBA = 50°    فإن  :     MAB = 50°
تمارين إضافية للإنجاز الفردي :