الدائرة المحيطة بالمثلث

‏إظهار الرسائل ذات التسميات الدائرة المحيطة بالمثلث. إظهار كافة الرسائل

المثلث القائم الزاوية و الدائرة (الخاصية العكسية)

في هذا درس سابق تعرفنا على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية و برهنا أن منتصف الوتر في مثلث قائم الزاوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوسه. في هذا الدرس نتناول الخاصية العكسية :

أنظر: الخاصية المباشرة

خاصية المثلث القائم الزاوية و الدائرة :

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل أسفله لدينا : ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع [BC].
قم بتحريك النقط A و B و O ثم لاحــــظ قياس الزاوية BÄC

كم هو قياس الزاوية BÄC ؟
تظنن خاصية متعلقة بالمثلث ABC.

ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و O يبقى قياس الزاوية BÄC هو °90.
مظنـــونة : إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .

2- البرهان على الخاصية :

تمرين :
ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع [BC] و ليكن I منتصف [AC].
1. برهن أن (AC) ⊥ (IO).
2. برهن أن (AB) // (IO).
3. إستنتج طبيعة المثلث ABC

الجــــــواب :

الشكل

1- نبرهن أن (AC) ⊥ (IO) :
لدينا : O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، إذن : OA = OC (أ)
و منه : O تنتمي إلى واسط القطعة [AC] ( كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة تنتمي إلى واسط هذه قطعة )
و لدينا : I منتصف القطعة [AC]، إذن : IA = IC    (ب)
و منه : I تنتمي إلى واسط القطعة [AC]
من (أ) و (ب) نستنتج أن : (IO) هو  واسط القطعة [AC] ( واسط قطعة هومجموعة النقط المتساوية المسافة عن طرفيها)
إذن : (AC) ⊥ (IO) ( واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).

2. نبرهن أن (AB) // (IO) :
لدينا : I منتصف القطعة [AC]، و لدينا : O منتصف القطعة [BC]
إذن : (AB) // (IO) ( المستقيم المار من منتصفي ضلعين في المثلث يوازي حامل الضلع الثالث).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعين في المثلث "

3- نستنتج طبيعة المثلث ABC :
لدينا : (AC) ⊥ (IO) و (AB) // (IO)
إذن : (AB) ⊥ (AC) ( إذا كان مستقيمان متوازيين فكل عمودي على أحدهما يكون عموديا على الأخر )
و منه : المثلث ABC قائم الزاوية في النقطة A.
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصيات التوازي و التعامد "

3- خاصية هامة :

خاصية :

إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .

بتعبير أخر :

بتعبير أخــــر :

ABC مثلث و O منتصف[BC]

إذا كان OA = OB = OC فإن : ABC مثلث قائم الزاوية في A

تمرين تطبيقي :

تمرين :
AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E و C هي مماثلة النقطة A بالنسبة للنقطة E
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث ABC ؟ علل جوابك .

الحــــل :

1–

الشكـــــــــل

2 – طبيعة المثلث ABC :
نعلم أن : AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E .
إذن : EA = EB . (أ)
و نعلم أن : C هي مماثلة A بالنسبة للنقطة E .
إذن : E منتصف [AC] .
و منه فإن : EA = EC ‚ .(ب)
من (أ) و(ب) نستنتج أن : EA = EB = EC .
و بالتالي :
لدينا في المثلث ABC :
E منتصف [AC]
و
EA = EB = EC
إذن : ABC مثلث قائم الزاوية في B.

تمارين إضافية للإنجاز الفردي :

تمرين محلول حول واسط قطعة

في التمرين الأول سنجد حلا لتعقيد بسيط في المثلث المبثور ( ABC مثلث مسح جرء منه، بقيت الرأس A و النقطة 0 مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC و جزئين من الضلعين [AB] و [AC] )، سنعيد إنشاء هذا المثلث بالإعتماد على واسط قطعة (تجد الخاصيات هنا ) و الدائرة المحيطة بالمثلث ( الخاصيات وطريقة الإنشاء هنا ). أما التمرين الثاني فهو يتناول نوع من الإستدلالات المنطقية التي يجب أن نتعود عليها في البرهنة :

نص التمرين الأول : المثلث المبثور

إنشاء الدائرة المحيطة بالمثلث

في هذا الدرس سوف نتعرف على طريقة إنشاء الدائرة المحيطة بالمثلث معتمدين في ذالك على ما رأيناه بخصوص إنشاء واسط قطعة و الخاصيات المتعلقة به.

إذا كنا نتوفر على دائرة C يمكننا بسهولة إنشاء ثلاث نقط A و B و C على هذه الدائرة، و بالتالي تكون C هي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC ..=:)

عكسيا الأمر ليس بنفس السهولة، حيث يتطلب إنشاء الدائرة المحيطة بالمثلث : البحث عن مركزها وشعاعها.

تعريف : الدائرة المحيطة بالمثلث هي الدائرة التي تمر من جميع رؤس هذا المثلث.

خاصية : واسطات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث

طريقة إنشاء الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

ليكن O هو مركز هذه الدائرة، أي أن O هو نقطة تلاقي واسطي الضلعين [AB] و [BC] و لدينا :

OA = OB = OC

الفيديو التالي يقدم شروحات لطريقة إنشاء الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، بإعتماد الخطوات التالية :

ننشئ واسط الضلع [AB]
ننشئ واسط الضلع [AC]
واسطي الضلعين [AB] و [AC] يتقاطعان في النقطة O ، ننشئ إذن الدائرة التي مركزها O و تمر من النقطة A . هذه الدائرة ستمر أيضا من B و C , شاهد :

أركام