أركام: المثلث القائم الزاوية و الدائرة (الخاصية العكسية)

في هذا درس سابق تعرفنا على الخاصية المباشرة لمنتصف وتر مثلث قائم الزاوية و برهنا أن منتصف الوتر في مثلث قائم الزاوية يبعد بنفس المسافة عن جميع رؤوسه. في هذا الدرس نتناول الخاصية العكسية :

أنظر:  الخاصية المباشرة

خاصية المثلث القائم الزاوية و الدائرة :

1- نشاط تمهيدي :

في الشكل أسفله لدينا : ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع  [BC].
قم بتحريك النقط A و B و O ثم لاحــــظ قياس الزاوية BÄC

1. كم هو قياس الزاوية BÄC  ؟
2. تظنن خاصية متعلقة بالمثلث ABC.

ملاحظـــة : مهما نغير من و ضع النقط A و B و O  يبقى قياس الزاوية  BÄC هو °90.
مظنـــونة : إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .

2- البرهان على الخاصية :

          تمرين :
ABC مثلث محاط بدائرة مركزها O منتصف الضلع  [BC] و ليكن I منتصف [AC].
1. برهن أن (AC) ⊥  (IO).
2. برهن أن  (AB) //  (IO).
3. إستنتج طبيعة المثلث ABC

الجــــــواب :

الشكل

1- نبرهن أن  (AC) ⊥  (IO) :
لدينا    : O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، إذن   : OA = OC  (أ)  
و منه  : O تنتمي إلى واسط القطعة [AC] (  كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة تنتمي إلى واسط هذه قطعة )
و لدينا : I منتصف القطعة [AC]، إذن   :  IA  =  IC    (ب) 
و منه  : I تنتمي إلى واسط القطعة [AC]
من (أ) و (ب) نستنتج أن : (IO) هو  واسط القطعة [AC]  ( واسط قطعة هومجموعة النقط المتساوية المسافة عن طرفيها)
إذن    :  (AC) ⊥  (IO)  (  واسط قطعة هو المستقيم المار من منتصفها و العمودي على حاملها).

2. نبرهن أن (AB) //  (IO) :
لدينا : I منتصف القطعة [AC]، و لدينا : O منتصف القطعة [BC]
إذن  : (AB) //  (IO) ( المستقيم المار من منتصفي ضلعين في  المثلث يوازي حامل الضلع الثالث).
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصية المستقيم المار من منتصفي ضلعين في المثلث "

3- نستنتج طبيعة المثلث ABC :
لدينا : (AC) ⊥  (IO) و (AB) //  (IO)
إذن  : (AB) ⊥  (AC) (  إذا كان مستقيمان متوازيين فكل عمودي على أحدهما يكون عموديا على الأخر )
و منه : المثلث ABC قائم الزاوية في النقطة A.
أنظر الخاصية المستعملة : " خاصيات التوازي و التعامد "

3- خاصية هامة :

          خاصية :

إذا كان منتصف أحد أضلاع مثلث يبعد بنفس المسافة عن رؤوسه ، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع .

بتعبير أخر :

           بتعبير أخــــر :

ABC مثلث و O منتصف[BC]

 إذا كان  OA = OB = OC   فإن : ABC مثلث قائم الزاوية في A

تمرين تطبيقي :

         تمرين :
AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E و C هي مماثلة النقطة A بالنسبة للنقطة E
1 – أنشئ الشكــل .
2 – ماهي طبيعة المثلث ABC ؟ علل جوابك .

الحــــل :

1–

الشكـــــــــل

2 – طبيعة المثلث  ABC  :
     نعلم أن  :  AEB مثلث متساوي الساقين رأسه E .
    إذن       :   EA = EB   . (أ)
  و نعلم أن  :  C هي مماثلة A بالنسبة للنقطة E .
         إذن  :  E  منتصف [AC] .
 و منه فإن  :  EA = EC  ‚ .(ب)
من  (أ) و(ب)   نستنتج أن  :   EA = EB = EC .
      و بالتالي :
     لدينا في المثلث ABC  :
             E منتصف [AC]
      و
             EA = EB = EC
       إذن   :    ABC مثلث قائم الزاوية في B.

تمارين إضافية للإنجاز الفردي :